Cálculo Ejemplos

\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

Paso 1

Sea

u = 1 + \cos (t)

$u = 1 + \cos (t)$ . Entonces

d u = - \sin (t) d t

$d u = - \sin (t) d t$ , de modo que

- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t

$- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante

u

$u$ y

d

$d$

u

$u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja

u = 1 + \cos (t)

$u = 1 + \cos (t)$ . Obtén

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia

1 + \cos (t)

$1 + \cos (t)$ .

\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de

1 + \cos (t)

$1 + \cos (t)$ con respecto a

t

$t$ es

\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Paso 1.1.2.2

Como

1

$1$ es constante con respecto a

t

$t$ , la derivada de

1

$1$ con respecto a

t

$t$ es

0

$0$ .

0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Paso 1.1.3

La derivada de

\cos (t)

$\cos (t)$ con respecto a

t

$t$ es

- \sin (t)

$- \sin (t)$ .

0 - \sin (t)

$0 - \sin (t)$

Paso 1.1.4

Resta

\sin (t)

$\sin (t)$ de

0

$0$ .

- \sin (t)

$- \sin (t)$

- \sin (t)

$- \sin (t)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante

u

$u$ y

d u

$d u$ .

\int - 1 \sqrt{u} d u

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

\int - 1 \sqrt{u} d u

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

Paso 2

Dado que

- 1

$- 1$ es constante con respecto a

u

$u$ , mueve

- 1

$- 1$ fuera de la integral.

- \int \sqrt{u} d u

$- \int \sqrt{u} d u$

Paso 3

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ como

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ .

- \int u^{\frac{1}{2}} d u

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a

u

$u$ es

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 5

Reescribe

- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como

- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de

u

$u$ con

1 + \cos (t)

$1 + \cos (t)$ .

- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$