Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{x} (x - 3)}{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 3)}{3}]$

Paso 1.2

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 3)}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 3)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 3)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.4.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.3

Combina los términos.

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Paso 11.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.3.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.3.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 11.3.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.3.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.3.3.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.3.4

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.3.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.3.6

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.3.8

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3}{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 11.3.9

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3}{6 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.10

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3 (1)}{6 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.11.1

Factoriza $3$ de $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3 (1)}{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 11.3.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3 \cdot 1}{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 11.3.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.12

Para escribir $\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{6}{6} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.13

Combina $\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} \cdot 6}{6} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.15

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{3} \cdot 6 + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.16

Combina $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{3}$ y $6$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 6}{3} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.17

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{3} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.18

Factoriza $3$ de $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}{3} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.19.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{\frac{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}{3 (1)} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.19.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 1} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.19.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.19.4

Divide $2 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.20

Suma $2 x^{\frac{1}{2}}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.21

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}})}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.22

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.22.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.22.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.3.22.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$