Cálculo Ejemplos

$\int \frac{e^{\sqrt{y}}}{\sqrt{y}} d y$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{y^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{y}} d y$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{y^{\frac{1}{2}}}}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Paso 1.3

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Paso 1.4

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Paso 1.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Paso 1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int e^{y^{\frac{1}{2}}} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Paso 2

Sea $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Entonces $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ , de modo que $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 2.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 2.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 2.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.1.8

Simplifica.

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Paso 2.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 2 e^{u} d u$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int e^{u} d u$

Paso 4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Paso 5

Simplifica.

$2 e^{u} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 e^{y^{\frac{1}{2}}} + C$