Cálculo Ejemplos

\frac{x}{x^{2} + 1}

$\frac{x}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde

f (x) = x

$f (x) = x$ y

g (x) = x^{2} + 1

$g (x) = x^{2} + 1$ .

\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ por

1

$1$ .

\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ con respecto a

x

$x$ es

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 2

$n = 2$ .

\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Como

1

$1$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

1

$1$ con respecto a

x

$x$ es

0

$0$ .

\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma

2 x

$2 x$ y

0

$0$ .

\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Multiplica

2

$2$ por

- 1

$- 1$ .

\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Eleva

x

$x$ a la potencia de

1

$1$ .

\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4

Eleva

x

$x$ a la potencia de

1

$1$ .

\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5

Usa la regla de la potencia

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 6

Suma

1

$1$ y

1

$1$ .

\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 7

Resta

2 x^{2}

$2 x^{2}$ de

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$