Cálculo Ejemplos

$\int t e^{- 3 t} d t$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = e^{- 3 t}$ .

$t (- \frac{1}{3} e^{- 3 t}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $e^{- 3 t}$ y $\frac{1}{3}$ .

$t (- \frac{e^{- 3 t}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

Paso 2.2

Combina $t$ y $\frac{e^{- 3 t}}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 t} d t$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- \frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - (- \frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + 1 (\frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t)$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 t} d t$

Paso 5

Sea $u = - 3 t$ . Entonces $d u = - 3 d t$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = - 3 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $- 3 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 3 t]$

Paso 5.1.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3 t$ con respecto a $t$ es $- 3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Paso 6.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Paso 9.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

Paso 10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Reescribe $- \frac{t e^{- 3 t}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ como $- \frac{1}{3} t e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{3} t e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Combina $t$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t}{3} e^{- 3 t} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Paso 11.2.2

Combina $e^{- 3 t}$ y $\frac{t}{3}$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 3 t$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{1}{9} e^{- 3 t} + C$

Paso 13

Combina $e^{- 3 t}$ y $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{e^{- 3 t} t}{3} - \frac{e^{- 3 t}}{9} + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$- \frac{1}{3} e^{- 3 t} t - \frac{1}{9} e^{- 3 t} + C$