Cálculo Ejemplos

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Step 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Evalúa el límite de

x

$x$ mediante el ingreso de

0

$0$ para

x

$x$ .

\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

El valor exacto de

\sin (0)

$\sin (0)$ es

0

$0$ .

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Evalúa el límite de

x

$x$ mediante el ingreso de

0

$0$ para

x

$x$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

La expresión contiene una división por

0

$0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Step 2

Como

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Step 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Diferencia el numerador y el denominador.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

La derivada de

\sin (x)

$\sin (x)$ con respecto a

x

$x$ es

\cos (x)

$\cos (x)$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Step 4

Evalúa el límite.

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Divide

\cos (x)

$\cos (x)$ por

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \cos (x)

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 5

Evalúa el límite de

x

$x$ mediante el ingreso de

0

$0$ para

x

$x$ .

\cos (0)

$\cos (0)$

Step 6

El valor exacto de

\cos (0)

$\cos (0)$ es

1

$1$ .

1

$1$