Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 + 7 x$ . Entonces $d u = 7 d x$ , de modo que $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + 7 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 7 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$0 + 7$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $7$ .

$7$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + 7 x$ .

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $7$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + 7 x$ .

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $7$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $7$ .

$u_{upper} = 8$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt[3]{u}$ y $\frac{1}{7}$ .

$\int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ en $8$ y en $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.5

Combina $\frac{3}{4}$ y $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.6

Multiplica $3$ por $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.7

Cancela el factor común de $48$ y $4$ .

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Paso 6.2.7.1

Factoriza $4$ de $48$ .

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.7.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.7.2.4

Divide $12$ por $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Paso 6.2.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Paso 6.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4})$

Paso 6.2.10

Para escribir $12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Paso 6.2.11

Combina $12$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Paso 6.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

Paso 6.2.13

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.13.1

Multiplica $12$ por $4$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{48 - 3}{4}$

Paso 6.2.13.2

Resta $3$ de $48$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

Paso 6.2.14

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{7 \cdot 4}$

Paso 6.2.15

Multiplica $7$ por $4$ .

$\frac{45}{28}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{45}{28}$

Forma decimal:

$1.60714285 \dots$

Forma de número mixto:

$1 \frac{17}{28}$

Paso 8