Cálculo Ejemplos

$g (t) = \frac{t}{t - 8}$ on $10$ , $12$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = t - 8$ .

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(t - 8) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Multiplica $t - 8$ por $1$ .

$\frac{t - 8 - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 8$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{t - 8 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{t - 8 - t (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.5

Como $- 8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{t - 8 - t (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{t - 8 - t \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{t - 8 - t}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6.3

Resta $t$ de $t$ .

$\frac{0 - 8}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.6.4.1

Resta $8$ de $0$ .

$\frac{- 8}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (t) = - \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $g (t)$ con respecto a $t$ es $- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$ .

$- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 = 0$

Paso 1.2.3

Como $8 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(t - 8)}^{2} = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $t$

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Paso 1.3.2.1

Establece $t - 8$ igual a $0$ .

$t - 8 = 0$

Paso 1.3.2.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$t = 8$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{t}{t - 8}$ en cada valor $t$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $t = 8$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $8$ por $t$ .

$\frac{8}{(8) - 8}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Resta $8$ de $8$ .

$\frac{8}{0}$

Paso 1.4.1.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.5

No hay valores de $t$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $t = 10$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $10$ por $t$ .

$\frac{10}{(10) - 8}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Cancela el factor común de $10$ y $(10) - 8$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 (5)}{(10) - 8}$

Paso 2.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 5 - 8}$

Paso 2.1.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 (5)}{2 \cdot 5 + 2 \cdot - 4}$

Paso 2.1.2.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 5 + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{2 (5)}{2 \cdot (5 - 4)}$

Paso 2.1.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot (5 - 4)}$

Paso 2.1.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{5 - 4}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.2.1

Resta $4$ de $5$ .

$\frac{5}{1}$

Paso 2.1.2.2.2

Divide $5$ por $1$ .

$5$

Paso 2.2

Evalúa en $t = 12$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $12$ por $t$ .

$\frac{12}{(12) - 8}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $12$ y $(12) - 8$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 (3)}{(12) - 8}$

Paso 2.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 3 - 8}$

Paso 2.2.2.1.2.2

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$\frac{4 (3)}{4 \cdot 3 + 4 \cdot - 2}$

Paso 2.2.2.1.2.3

Factoriza $4$ de $4 \cdot 3 + 4 \cdot - 2$ .

$\frac{4 (3)}{4 \cdot (3 - 2)}$

Paso 2.2.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot (3 - 2)}$

Paso 2.2.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{3 - 2}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.2.1

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{1}$

Paso 2.2.2.2.2

Divide $3$ por $1$ .

$3$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(10, 5), (12, 3)$

Paso 3

Compara los valores de $g (t)$ encontrados para cada valor de $t$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $g (t)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $g (t)$ .

Máximo absoluto: $(10, 5)$

Mínimo absoluto: $(12, 3)$

Paso 4