Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{4} - 16}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4} - 16}$ como ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4} - 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Paso 1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Paso 1.3.4

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Paso 1.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Paso 1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Paso 1.5

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Combina $- 8$ y $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Paso 1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Paso 1.5.3

Combina $x^{3}$ y $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Paso 1.5.4

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = {(x^{4} - 16)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x^{4} - 16)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 \cdot ({(x^{4} - 16)}^{2} x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{4} - 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 (x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.5.4

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.5.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.5.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.5.5.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} (4 \cdot ((x^{4} - 16) x^{3}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.5.5.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{3} ((x^{4} - 16) x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{3 + 3} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.7

Suma $3$ y $3$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.8

Combina $- 8$ y $\frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.1

Reescribe ${(x^{4} - 16)}^{2}$ como $(x^{4} - 16) (x^{4} - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 ((x^{4} - 16) (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.2

Expande $(x^{4} - 16) (x^{4} - 16)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} (x^{4} - 16) - 16 (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.3.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.3.1.1.2

Suma $4$ y $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.3.1.2

Mueve $- 16$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 16 \cdot x^{4} - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.3.1.3

Multiplica $- 16$ por $- 16$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 16 x^{4} - 16 x^{4} + 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.3.2

Resta $16 x^{4}$ de $- 16 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 32 x^{4} + 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} + 3 (- 32 x^{4}) + 3 \cdot 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.5.1

Multiplica $- 32$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} - 96 x^{4} + 3 \cdot 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.5.2

Multiplica $3$ por $256$ .

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} - 96 x^{4} + 768) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{8} x^{2} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.7.1

Multiplica $x^{8}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.7.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{2} x^{8}) - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{2 + 8} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.7.1.3

Suma $2$ y $8$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.7.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.7.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 (x^{2} x^{4}) + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{2 + 4} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.7.2.3

Suma $2$ y $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{6} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10}) + 8 (- 96 x^{6}) + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.9.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} + 8 (- 96 x^{6}) + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.9.2

Multiplica $- 96$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.9.3

Multiplica $768$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.10

Multiplica $x^{6}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.10.1

Mueve $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 (x^{4} x^{6})) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.10.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{4 + 6}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.10.3

Suma $4$ y $6$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{10}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.11

Multiplica $- 8$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.12

Multiplica $- 16$ por $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 8 (128 x^{6})}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.1.13

Multiplica $128$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 1024 x^{6}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.2

Resta $64 x^{10}$ de $24 x^{10}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 40 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 1024 x^{6}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.3.3

Suma $- 768 x^{6}$ y $1024 x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 40 x^{10} + 256 x^{6} + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.4.1

Factoriza $8 x^{2}$ de $- 40 x^{10} + 256 x^{6} + 6144 x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.4.1.1

Factoriza $8 x^{2}$ de $- 40 x^{10}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 256 x^{6} + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.1.2

Factoriza $8 x^{2}$ de $256 x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4}) + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.1.3

Factoriza $8 x^{2}$ de $6144 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.1.4

Factoriza $8 x^{2}$ de $8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4})$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.1.5

Factoriza $8 x^{2}$ de $8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4} + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.2

Reescribe $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 {(x^{4})}^{2} + 32 x^{4} + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.3

Sea $u = x^{4}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + 32 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.4

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.4.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 5 \cdot 768 = - 3840$ y cuya suma es $b = 32$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.4.4.1.1

Factoriza $32$ de $32 u$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + 32 (u) + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.4.1.2

Reescribe $32$ como $- 48$ más $80$

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + (- 48 + 80) u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} - 48 u + 80 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.4.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 u^{2} - 48 u) + 80 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (u (- 5 u - 48) - 16 (- 5 u - 48))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 5 u - 48$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 u - 48) (u - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.6

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ({(x^{2})}^{2} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.4.9

Factoriza.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.5

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.5.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{({(x^{2})}^{2} - 16)}^{4}}$

Paso 2.10.5.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{4}}$

Paso 2.10.5.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{4}}$

Paso 2.10.5.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.5.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

Paso 2.10.5.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{4}}$

Paso 2.10.5.5

Aplica la regla del producto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.5.6

Expande $(x^{2} + 4) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.5.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.5.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.5.7

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.5.7.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.5.7.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.5.7.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.5.7.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.5.7.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.5.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.5.7.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.5.8

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.5.8.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.5.8.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.5.9

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x + 2) (x^{2} + 4))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.5.10

Aplica la regla del producto a $(x + 2) (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.6

Cancela el factor común de $x^{2} + 4$ y ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.6.1

Factoriza $x^{2} + 4$ de $8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.6.2.1

Factoriza $x^{2} + 4$ de ${(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{(x^{2} + 4) ({(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Paso 2.10.6.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{(x^{2} + 4) ({(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Paso 2.10.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2)}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.7

Cancela el factor común de $x + 2$ y ${(x + 2)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.7.1

Factoriza $x + 2$ de $(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.7.2.1

Factoriza $x + 2$ de ${(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Paso 2.10.7.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Paso 2.10.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.8

Cancela el factor común de $x - 2$ y ${(x - 2)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.8.1

Factoriza $x - 2$ de $(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.10.8.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.8.2.1

Factoriza $x - 2$ de ${(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Paso 2.10.8.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Paso 2.10.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 2.10.9

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4}) - 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 2.10.10

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4}) - 1 \cdot 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 2.10.11

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{4}) - 1 (48)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4} + 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 2.10.12

Reescribe $- (5 x^{4} + 48)$ como $- 1 (5 x^{4} + 48)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 1 (5 x^{4} + 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 2.10.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 2.10.14

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}})$

Paso 2.10.15

Multiplica $\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 2.10.16

Reordena los factores en $\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{4} - 16}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Paso 4.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4} - 16}$ como ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4} - 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Paso 4.1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Paso 4.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Paso 4.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Paso 4.1.3.4

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Paso 4.1.3.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.5.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Paso 4.1.3.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Paso 4.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Paso 4.1.5

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.1

Combina $- 8$ y $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Paso 4.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Paso 4.1.5.3

Combina $x^{3}$ y $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Paso 4.1.5.4

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 x^{3} = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Divide cada término en $8 x^{3} = 0$ por $8$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Divide cada término en $8 x^{3} = 0$ por $8$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Paso 5.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Paso 5.3.1.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

Paso 5.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.3.1

Divide $0$ por $8$ .

$x^{3} = 0$

Paso 5.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 5.3.3

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 5.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Paso 6.2.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Paso 6.2.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Paso 6.2.1.4.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.4.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Paso 6.2.1.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Paso 6.2.1.5

Aplica la regla del producto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 6.2.1.6

Aplica la regla del producto a $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 6.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 6.2.3

Establece ${(x^{2} + 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Establece ${(x^{2} + 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Paso 6.2.3.2

Resuelve ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.1

Establece $x^{2} + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Paso 6.2.3.2.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 4$

Paso 6.2.3.2.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Paso 6.2.3.2.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.2.3.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Paso 6.2.3.2.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Paso 6.2.3.2.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Paso 6.2.3.2.2.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Paso 6.2.3.2.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Paso 6.2.3.2.2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Paso 6.2.3.2.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.2.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i$

Paso 6.2.3.2.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i$

Paso 6.2.3.2.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i, - 2 i$

Paso 6.2.4

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.1

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 6.2.4.2

Resuelve ${(x + 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 6.2.4.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6.2.5

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.1

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 6.2.5.2

Resuelve ${(x - 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.5.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 6.2.5.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Paso 6.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{8 {(0)}^{2} (5 {(0)}^{4} + 48)}{{((0) + 2)}^{3} {({(0)}^{2} + 4)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} (5 \cdot 0 + 48)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 9.1.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} (0 + 48)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 9.1.3

Suma $0$ y $48$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} \cdot 48}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 9.1.4

Multiplica $48$ por $8$ .

$\frac{384 \cdot 0^{2}}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 9.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Reescribe $0$ como $- 1 (0)$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 (0) + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 9.2.2

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 9.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 9.2.4

Aplica la regla del producto a $- 1 \cdot (0 - 2)$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 9.2.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Paso 9.2.6

Multiplica ${(0 - 2)}^{3}$ por ${(0 - 2)}^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.6.1

Mueve ${(0 - 2)}^{3}$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}) {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 9.2.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 9.2.6.3

Suma $3$ y $3$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 9.3

Multiplica $384$ por $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 9.4

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.1

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Paso 9.4.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0 + 4)}^{3}}$

Paso 9.4.3

Suma $0$ y $4$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} \cdot 4^{3}}$

Paso 9.4.4

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.4.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 1 (2))}^{6} \cdot 4^{3}}$

Paso 9.4.4.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (2)$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Paso 9.4.4.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (1 \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Paso 9.4.4.4

Multiplica $2^{6}$ por $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{6} \cdot 4^{3}}$

Paso 9.4.4.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(2^{2})}^{3} \cdot 2^{6})}$

Paso 9.4.4.6

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.4.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{6})}$

Paso 9.4.4.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (2^{6} \cdot 2^{6})}$

Paso 9.4.4.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{6 + 6}}$

Paso 9.4.4.8

Suma $6$ y $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{12}}$

Paso 9.4.5

Eleva $2$ a la potencia de $12$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 4096}$

Paso 9.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.1

Multiplica $- 1$ por $4096$ .

$\frac{0}{- 4096}$

Paso 9.5.2

Divide $0$ por $- 4096$ .

$0$

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = - \frac{8 {(- 4)}^{3}}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{(256 - 16)}^{2}}$

Paso 10.2.2.2.2

Resta $16$ de $256$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{240^{2}}$

Paso 10.2.2.2.3

Eleva $240$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{57600}$

Paso 10.2.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.3.1

Multiplica $8$ por $- 64$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 512}{57600}$

Paso 10.2.2.3.2

Cancela el factor común de $- 512$ y $57600$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.3.2.1

Factoriza $256$ de $- 512$ .

$f' (- 4) = - \frac{256 (- 2)}{57600}$

Paso 10.2.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.3.2.2.1

Factoriza $256$ de $57600$ .

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Paso 10.2.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Paso 10.2.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (- 4) = - \frac{- 2}{225}$

Paso 10.2.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 4) = \frac{2}{225}$

Paso 10.2.2.4

La respuesta final es $\frac{2}{225}$ .

$\frac{2}{225}$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(0, \infty)$ en la primera derivada $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - \frac{8 {(1)}^{3}}{{({(1)}^{4} - 16)}^{2}}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1^{4} - 16)}^{2}}$

Paso 10.3.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1 - 16)}^{2}}$

Paso 10.3.2.2.2

Resta $16$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(- 15)}^{2}}$

Paso 10.3.2.2.3

Eleva $- 15$ a la potencia de $2$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{225}$

Paso 10.3.2.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{225}$

Paso 10.3.2.4

La respuesta final es $- \frac{8}{225}$ .

$- \frac{8}{225}$

Paso 10.4

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 11