Cálculo Ejemplos

$f (x) = 9 x^{\frac{2}{3}} - x$ on $0$ , $729$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{\frac{2}{3}} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$9 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.9

Combina $9$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{9 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.10

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{18 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{18}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.12

Factoriza $3$ de $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.2.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$

Paso 1.2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Paso 1.2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.4

Multiplica cada término en $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$ por $x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$6 = 1 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.3.1

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$6 = x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.5.1

Reescribe la ecuación como $x^{\frac{1}{3}} = 6$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 6$

Paso 1.2.5.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

Paso 1.2.5.3

Simplifica el exponente.

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Paso 1.2.5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.5.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.5.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Paso 1.2.5.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.5.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Paso 1.2.5.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 6^{3}$

Paso 1.2.5.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 6^{3}$

Paso 1.2.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.3.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$x = 216$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{6}{\sqrt[3]{x^{1}}} - 1$

Paso 1.3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{6}{\sqrt[3]{x}} - 1$

Paso 1.3.2

Establece el denominador en $\frac{6}{\sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Paso 1.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 1.4

Evalúa $9 x^{\frac{2}{3}} - x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 216$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $216$ por $x$ .

$9 {(216)}^{\frac{2}{3}} - (216)$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Reescribe $216$ como $6^{3}$ .

$9 {(6^{3})}^{\frac{2}{3}} - (216)$

Paso 1.4.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 6^{3 (\frac{2}{3})} - (216)$

Paso 1.4.1.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.4.1.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$9 \cdot 6^{3 (\frac{2}{3})} - (216)$

Paso 1.4.1.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$9 \cdot 6^{2} - (216)$

Paso 1.4.1.2.1.4

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$9 \cdot 36 - (216)$

Paso 1.4.1.2.1.5

Multiplica $9$ por $36$ .

$324 - (216)$

Paso 1.4.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $216$ .

$324 - 216$

Paso 1.4.1.2.2

Resta $216$ de $324$ .

$108$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$9 {(0)}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Paso 1.4.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Paso 1.4.2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.4.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Paso 1.4.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$9 \cdot 0^{2} - (0)$

Paso 1.4.2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$9 \cdot 0 - (0)$

Paso 1.4.2.2.3.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$0 - (0)$

Paso 1.4.2.2.3.3

Resta $0$ de $0$ .

$0$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(216, 108), (0, 0)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$9 {(0)}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Paso 2.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Paso 2.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Paso 2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$9 \cdot 0^{2} - (0)$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$9 \cdot 0 - (0)$

Paso 2.1.2.3.2

Multiplica $9$ por $0$ .

$0 - (0)$

Paso 2.1.2.3.3

Resta $0$ de $0$ .

$0$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 729$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $729$ por $x$ .

$9 {(729)}^{\frac{2}{3}} - (729)$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Reescribe $729$ como $9^{3}$ .

$9 {(9^{3})}^{\frac{2}{3}} - (729)$

Paso 2.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 9^{3 (\frac{2}{3})} - (729)$

Paso 2.2.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$9 \cdot 9^{3 (\frac{2}{3})} - (729)$

Paso 2.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$9 \cdot 9^{2} - (729)$

Paso 2.2.2.1.4

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$9 \cdot 81 - (729)$

Paso 2.2.2.1.5

Multiplica $9$ por $81$ .

$729 - (729)$

Paso 2.2.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $729$ .

$729 - 729$

Paso 2.2.2.2

Resta $729$ de $729$ .

$0$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (729, 0)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(216, 108)$

Mínimo absoluto: $(0, 0), (729, 0)$

Paso 4