Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin^{2} (x)$ on $[0, π]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Reordena los factores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Paso 1.1.1.3.2

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Paso 1.1.1.3.3

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Paso 1.1.1.3.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\sin (2 x) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Paso 1.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x = \arcsin (0)$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$2 x = 0$

Paso 1.2.4

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 x = π - 0$

Paso 1.2.6

Resuelve $x$

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Paso 1.2.6.1

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 x = π + 0$

Paso 1.2.6.1.2

Suma $π$ y $0$ .

$2 x = π$

Paso 1.2.6.2

Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.6.2.1

Divide cada término en $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 1.2.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 1.2.6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 1.2.7

Obtén el período de $\sin (2 x)$ .

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Paso 1.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.7.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 1.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 1.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 1.2.7.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 1.2.8

El período de la función $\sin (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\sin^{2} (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sin^{2} (0)$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0^{2}$

Paso 1.4.1.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\sin^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$1^{2}$

Paso 1.4.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 1)$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(\frac{π}{2}, 1)$

Paso 3

Usa la prueba de la primera derivada para determinar qué puntos pueden ser máximos o mínimos.

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Paso 3.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

Paso 3.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $\sin (2 x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2))$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4)$

Paso 3.2.2.2

Evalúa $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249$

Paso 3.2.2.3

La respuesta final es $0.75680249$ .

$0.75680249$

Paso 3.3

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(0, \frac{π}{2})$ en la primera derivada $\sin (2 x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \sin (2 (1))$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (1) = \sin (2)$

Paso 3.3.2.2

Evalúa $\sin (2)$ .

$f' (1) = 0.90929742$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $0.90929742$ .

$0.90929742$

Paso 3.4

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(\frac{π}{2}, π)$ en la primera derivada $\sin (2 x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \sin (2 (2))$

Paso 3.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (2) = \sin (4)$

Paso 3.4.2.2

Evalúa $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249$

Paso 3.4.2.3

La respuesta final es $- 0.75680249$ .

$- 0.75680249$

Paso 3.5

Sustituye cualquier número, como $6$ , del intervalo $(π, \infty)$ en la primera derivada $\sin (2 x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = \sin (2 (6))$

Paso 3.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$f' (6) = \sin (12)$

Paso 3.5.2.2

Evalúa $\sin (12)$ .

$f' (6) = - 0.53657291$

Paso 3.5.2.3

La respuesta final es $- 0.53657291$ .

$- 0.53657291$

Paso 3.6

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 3.7

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = \frac{π}{2}$ , $x = \frac{π}{2}$ es un máximo local.

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

Paso 3.8

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = π$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 3.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{π}{2}, 1)$

Sin mínimo absoluto

Paso 5