Cálculo Ejemplos

$h (x) = x^{\frac{1}{5}} - 8$ , $[- 32, 1]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{5}} - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.1.2.5.2

Resta $5$ de $1$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.1.1.3

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + 0$

Paso 1.1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} + 0$

Paso 1.1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 0$

Paso 1.1.1.4.2.2

Suma $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $h (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^{4}}}$

Paso 1.3.2

Establece el denominador en $\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^{4}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$5 \sqrt[5]{x^{4}} = 0$

Paso 1.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $5$ ambos lados de la ecuación.

${(5 \sqrt[5]{x^{4}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x^{4}}$ como $x^{\frac{4}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Simplifica ${(5 x^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $5 x^{\frac{4}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$3125 {(x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$3125 x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$3125 x^{4} = 0^{5}$

Paso 1.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3125 x^{4} = 0$

Paso 1.3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $3125 x^{4} = 0$ por $3125$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1.1

Divide cada término en $3125 x^{4} = 0$ por $3125$ .

$\frac{3125 x^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Paso 1.3.3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $3125$ .

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Paso 1.3.3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3125 x^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Paso 1.3.3.3.1.2.1.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{0}{3125}$

Paso 1.3.3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.1.3.1

Divide $0$ por $3125$ .

$x^{4} = 0$

Paso 1.3.3.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Paso 1.3.3.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Paso 1.3.3.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.3.3.3.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.4

Evalúa $x^{\frac{1}{5}} - 8$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{\frac{1}{5}} - 8$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

${(0^{5})}^{\frac{1}{5}} - 8$

Paso 1.4.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

Paso 1.4.1.2.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.4.1.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$0^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

Paso 1.4.1.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$0^{1} - 8$

Paso 1.4.1.2.1.4

Evalúa el exponente.

$0 - 8$

Paso 1.4.1.2.2

Resta $8$ de $0$ .

$- 8$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, - 8)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 32$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 32$ por $x$ .

${(- 32)}^{\frac{1}{5}} - 8$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe $- 32$ como ${(- 2)}^{5}$ .

${({(- 2)}^{5})}^{\frac{1}{5}} - 8$

Paso 2.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 2)}^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

Paso 2.1.2.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.1.2.1.3.1

Cancela el factor común.

${(- 2)}^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

Paso 2.1.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

${(- 2)}^{1} - 8$

Paso 2.1.2.1.4

Evalúa el exponente.

$- 2 - 8$

Paso 2.1.2.2

Resta $8$ de $- 2$ .

$- 10$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

${(1)}^{\frac{1}{5}} - 8$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 8$

Paso 2.2.2.2

Resta $8$ de $1$ .

$- 7$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 32, - 10), (1, - 7)$

Paso 3

Compara los valores de $h (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $h (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $h (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, - 7)$

Mínimo absoluto: $(- 32, - 10)$

Paso 4