Cálculo Ejemplos

g (x) = \sqrt[3]{x}

$g (x) = \sqrt[3]{x}$ ,

[- 8, 8]

$[- 8, 8]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt[3]{x}

$\sqrt[3]{x}$ como

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ .

\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = \frac{1}{3}

$n = \frac{1}{3}$ .

\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 1.1.1.3

Para escribir

- 1

$- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 1.1.1.4

Combina

- 1

$- 1$ y

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 1.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 1.1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.6.1

Multiplica

- 1

$- 1$ por

3

$3$ .

\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Paso 1.1.1.6.2

Resta

3

$3$ de

1

$1$ .

\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Paso 1.1.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Paso 1.1.1.8

Simplifica.

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Paso 1.1.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.1.8.2

Multiplica

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ por

\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de

$g (x)$ con respecto a

$x$ es

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a

$0$ , luego resuelve la ecuación

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a

$0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 1.2.3

Como

$1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Aplica la regla

$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 1.3.2

Establece el denominador en

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ igual que

$0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Paso 1.3.3

Resuelve

$x$

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Paso 1.3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt[3]{x^{2}}$ como

$x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Simplifica

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a

$3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Eleva

$3$ a la potencia de

$3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de

$3$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.3.1

Elevar

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

$0$ .

$27 x^{2} = 0$

Paso 1.3.3.3

Resuelve

$x$

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en

$27 x^{2} = 0$ por

$27$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1.1

Divide cada término en

$27 x^{2} = 0$ por

$27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 1.3.3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.1.2.1

Cancela el factor común de

$27$ .

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Paso 1.3.3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 1.3.3.3.1.2.1.2

Divide

$x^{2}$ por

$1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Paso 1.3.3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.1.3.1

Divide

$0$ por

$27$ .

$x^{2} = 0$

Paso 1.3.3.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica

$\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.3.3.3.3.1

Reescribe

$0$ como

$0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.3.3.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.3.3.3.3.3

Más o menos

$0$ es

$0$ .

$x = 0$

Paso 1.4

Evalúa

$\sqrt[3]{x}$ en cada valor

$x$ donde la derivada sea

$0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en

$x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye

$0$ por

$x$ .

$\sqrt[3]{0}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$\sqrt[3]{0}$

Paso 1.4.1.2.2

Reescribe

$0$ como

$0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 1.4.1.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$0$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, 0)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en

$x = - 8$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye

$- 8$ por

$x$ .

$\sqrt[3]{- 8}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$\sqrt[3]{- 8}$

Paso 2.1.2.2

Reescribe

$- 8$ como

${(- 2)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}$

Paso 2.1.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$- 2$

Paso 2.2

Evalúa en

$x = 8$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye

$8$ por

$x$ .

$\sqrt[3]{8}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$\sqrt[3]{8}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe

$8$ como

$2^{3}$ .

$\sqrt[3]{2^{3}}$

Paso 2.2.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$2$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 8, - 2), (8, 2)$

Paso 3

Compara los valores de

$g (x)$ encontrados para cada valor de

$x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de

$g (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de

$g (x)$ .

Máximo absoluto:

$(8, 2)$

Mínimo absoluto:

$(- 8, - 2)$

Paso 4