Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 \sin (x) \cos (x)$ , $[\frac{π}{4}, π]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \sin (x) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 1.1.1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 1.1.1.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 1.1.1.5

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 1.1.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 1.1.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 1.1.1.8

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Paso 1.1.1.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Paso 1.1.1.10

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Paso 1.1.1.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Paso 1.1.1.12

Suma $1$ y $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Paso 1.1.1.13

Simplifica.

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Paso 1.1.1.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$

Paso 1.1.1.13.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $3$ de $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza $3$ de $3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $3$ de $3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Paso 1.2.2.2

Reordena $- \sin^{2} (x)$ y $\cos^{2} (x)$ .

$3 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza.

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Paso 1.2.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

Paso 1.2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Paso 1.2.4

Establece $\cos (x) + \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $\cos (x) + \sin (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $\cos (x) + \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.4.2.2

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.4.2.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.4.2.4

Separa las fracciones.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 1.2.4.2.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 1.2.4.2.6

Divide $0$ por $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Paso 1.2.4.2.7

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Paso 1.2.4.2.8

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = - 1$

Paso 1.2.4.2.9

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Paso 1.2.4.2.10

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.10.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.4.2.11

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 1.2.4.2.12

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 1.2.4.2.12.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 1.2.4.2.12.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 1.2.4.2.13

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 1.2.4.2.13.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 1.2.4.2.13.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 1.2.4.2.13.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 1.2.4.2.13.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 1.2.4.2.14

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 1.2.4.2.14.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Paso 1.2.4.2.14.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.4.2.14.3

Combina fracciones.

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Paso 1.2.4.2.14.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.4.2.14.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 1.2.4.2.14.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.14.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 1.2.4.2.14.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 1.2.4.2.14.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 1.2.4.2.15

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.5

Establece $\cos (x) - \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $\cos (x) - \sin (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $\cos (x) - \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.5.2.2

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 1.2.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.5.2.3

Separa las fracciones.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.5.2.4

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.5.2.5

Divide $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.5.2.6

Separa las fracciones.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 1.2.5.2.7

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 1.2.5.2.8

Divide $0$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Paso 1.2.5.2.9

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Paso 1.2.5.2.10

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \tan (x) = - 1$

Paso 1.2.5.2.11

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.2.11.1

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.5.2.11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.11.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.5.2.11.2.2

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.2.5.2.11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.11.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Paso 1.2.5.2.12

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 1.2.5.2.13

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.13.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 1.2.5.2.14

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 1.2.5.2.15

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 1.2.5.2.15.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 1.2.5.2.15.2

Combina fracciones.

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Paso 1.2.5.2.15.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 1.2.5.2.15.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 1.2.5.2.15.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.15.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 1.2.5.2.15.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 1.2.5.2.16

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 1.2.5.2.16.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 1.2.5.2.16.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 1.2.5.2.16.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 1.2.5.2.16.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 1.2.5.2.17

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.7

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $3 \sin (x) \cos (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.4.1.2.2

Combina $3$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.4.1.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 1.4.1.2.4.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.2.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.2.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.2.4.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Paso 1.4.1.2.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.4.1.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Paso 1.4.1.2.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Paso 1.4.1.2.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 1.4.1.2.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.1.2.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 1.4.1.2.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Paso 1.4.1.2.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

Paso 1.4.1.2.6

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{4}$

Paso 1.4.1.2.7

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 1.4.1.2.7.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Paso 1.4.1.2.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.7.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $\frac{3 π}{4}$ por $x$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 1.4.2.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 1.4.2.2.3

Combina $3$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 1.4.2.2.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Paso 1.4.2.2.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 1.4.2.2.6

Multiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Paso 1.4.2.2.6.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.2.2.6.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.2.2.6.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.2.2.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.2.2.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.2.2.6.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Paso 1.4.2.2.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.4.2.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Paso 1.4.2.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Paso 1.4.2.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 1.4.2.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 1.4.2.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Paso 1.4.2.2.7.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{3 \cdot 2}{4}$

Paso 1.4.2.2.8

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{6}{4}$

Paso 1.4.2.2.9

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.9.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \frac{2 (3)}{4}$

Paso 1.4.2.2.9.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.9.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.2.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.2.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{2}$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{3}{2})$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Paso 3.1.2.2

Combina $3$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Paso 3.1.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.1.2.4

Multiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.2.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.2.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.2.4.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Paso 3.1.2.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.1.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Paso 3.1.2.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Paso 3.1.2.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 3.1.2.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 3.1.2.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Paso 3.1.2.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

Paso 3.1.2.6

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{4}$

Paso 3.1.2.7

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 3.1.2.7.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Paso 3.1.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.7.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2}$

Paso 3.2

Evalúa en $x = π$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $π$ por $x$ .

$3 \sin (π) \cos (π)$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$3 \sin (0) \cos (π)$

Paso 3.2.2.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$3 \cdot 0 \cos (π)$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 \cos (π)$

Paso 3.2.2.4

$0 (- \cos (0))$

Paso 3.2.2.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1)$

Paso 3.2.2.6

Multiplica $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 3.2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 \cdot - 1$

Paso 3.2.2.6.2

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (π, 0)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{π}{4}, \frac{3}{2})$

Mínimo absoluto: $(\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

Paso 5