Cálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$- 3 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15 x$ con respecto a $x$ es $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 15$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{2} + 16 x - 15$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 15)$

Paso 2.3.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 + \frac{d}{d x} (- 15)$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $- 6 x + 16$ y $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$- 3 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Paso 4.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Paso 4.1.4.1

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15 x$ con respecto a $x$ es $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \cdot 1$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $- 15$ por $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 16 x - 15$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 x^{2} + 16 x - 15$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$

Paso 5.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.3

Sustituye los valores $a = - 3$ , $b = 16$ y $c = - 15$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ .

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Paso 5.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.4.1.2.2

Multiplica $12$ por $- 15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.4.1.3

Resta $180$ de $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.4.1.4

Reescribe $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

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Paso 5.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $76$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.4.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

Paso 5.4.3

Simplifica $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

Paso 5.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ .

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Paso 5.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.5.1.2.2

Multiplica $12$ por $- 15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.5.1.3

Resta $180$ de $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.5.1.4

Reescribe $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

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Paso 5.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $76$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.5.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

Paso 5.5.3

Simplifica $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

Paso 5.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 5.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ .

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Paso 5.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.6.1.2.2

Multiplica $12$ por $- 15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.6.1.3

Resta $180$ de $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.6.1.4

Reescribe $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

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Paso 5.6.1.4.1

Factoriza $4$ de $76$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.6.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

Paso 5.6.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

Paso 5.6.3

Simplifica $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

Paso 5.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 5.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}, \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}, \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 6 \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

Paso 9.1.1.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 2 \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

Paso 9.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- 2 (8 + \sqrt{19}) + 16$

Paso 9.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \cdot 8 - 2 \sqrt{19} + 16$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$- 16 - 2 \sqrt{19} + 16$

Paso 9.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 9.2.1

Suma $- 16$ y $16$ .

$0 - 2 \sqrt{19}$

Paso 9.2.2

Resta $2 \sqrt{19}$ de $0$ .

$- 2 \sqrt{19}$

Paso 10

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{3} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 + \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.3

Usa el teorema del binomio.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8^{3} + 3 \cdot (8^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.4.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (8^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (64 \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.3

Multiplica $3$ por $64$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.4

Multiplica $3$ por $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 {\sqrt{19}}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.5

Reescribe ${\sqrt{19}}^{2}$ como $19$ .

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Paso 11.2.1.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{19}$ como $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.1.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.5.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.6

Multiplica $24$ por $19$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.7

Reescribe ${\sqrt{19}}^{3}$ como $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{19^{3}}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.8

Eleva $19$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{6859}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.9

Reescribe $6859$ como $19^{2} \cdot 19$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.4.9.1

Factoriza $361$ de $6859$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{361 (19)}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.9.2

Reescribe $361$ como $19^{2}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.4.10

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.5

Suma $512$ y $456$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 192 \sqrt{19} + 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.6

Suma $192 \sqrt{19}$ y $19 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.7

Aplica la regla del producto a $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 + \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.9

Reescribe ${(8 + \sqrt{19})}^{2}$ como $(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.10

Expande $(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 (8 + \sqrt{19}) + \sqrt{19} (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 8 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 11.2.1.11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.11.1.1

Multiplica $8$ por $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 8 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.11.1.2

Mueve $8$ a la izquierda de $\sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \cdot \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.11.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19 \cdot 19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.11.1.4

Multiplica $19$ por $19$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{361}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.11.1.5

Reescribe $361$ como $19^{2}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19^{2}}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.11.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.11.2

Suma $64$ y $19$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.11.3

Suma $8 \sqrt{19}$ y $8 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 + 16 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.12

Combina $8$ y $\frac{83 + 16 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Paso 11.2.1.13

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.1.13.1

Factoriza $3$ de $- 15$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} + 3 (- 5) (\frac{8 + \sqrt{19}}{3})$

Paso 11.2.1.13.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (- 5 \frac{8 + \sqrt{19}}{3})$

Paso 11.2.1.13.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 5 (8 + \sqrt{19})$

Paso 11.2.1.14

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 5 \cdot 8 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.1.15

Multiplica $- 5$ por $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.2

Para escribir $\frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $27$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.2.3.1

Multiplica $\frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (968 + 211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 968 - (211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.5.2

Multiplica $- 1$ por $968$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - (211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.5.3

Multiplica $211$ por $- 1$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (8 \cdot 83 + 8 (16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.5.5

Multiplica $8$ por $83$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (664 + 8 (16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.5.6

Multiplica $16$ por $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (664 + 128 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.5.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 664 \cdot 3 + 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.5.8

Multiplica $664$ por $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 1992 + 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.5.9

Multiplica $3$ por $128$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 1992 + 384 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.5.10

Suma $- 968$ y $1992$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 211 \sqrt{19} + 384 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.5.11

Suma $- 211 \sqrt{19}$ y $384 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.6

Para escribir $- 40$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} - 40 \cdot \frac{27}{27} - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.7

Combina $- 40$ y $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 40 \cdot 27}{27} - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19} - 40 \cdot 27}{27} - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.8.2

Multiplica $- 40$ por $27$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19} - 1080}{27} - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.8.3

Resta $1080$ de $1024$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} - 5 \sqrt{19}$

Paso 11.2.9

Para escribir $- 5 \sqrt{19}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} - 5 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 11.2.10

Combina fracciones.

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Paso 11.2.10.1

Combina $- 5 \sqrt{19}$ y $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Paso 11.2.10.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19} - 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Paso 11.2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.11.1

Multiplica $27$ por $- 5$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19} - 135 \sqrt{19}}{27}$

Paso 11.2.11.2

Resta $135 \sqrt{19}$ de $173 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Paso 11.2.12

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 11.2.12.1

Reescribe $- 56$ como $- 1 (56)$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Paso 11.2.12.2

Factoriza $- 1$ de $38 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - (- 38 \sqrt{19})}{27}$

Paso 11.2.12.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (56) - (- 38 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (56 - 38 \sqrt{19})}{27}$

Paso 11.2.12.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Paso 11.2.13

La respuesta final es $- \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 6 \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

Paso 13.1.1.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 2 \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

Paso 13.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- 2 (8 - \sqrt{19}) + 16$

Paso 13.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \cdot 8 - 2 (- \sqrt{19}) + 16$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$- 16 - 2 (- \sqrt{19}) + 16$

Paso 13.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- 16 + 2 \sqrt{19} + 16$

Paso 13.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 13.2.1

Suma $- 16$ y $16$ .

$0 + 2 \sqrt{19}$

Paso 13.2.2

Suma $0$ y $2 \sqrt{19}$ .

$2 \sqrt{19}$

Paso 14

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{3} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 - \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.3

Usa el teorema del binomio.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8^{3} + 3 \cdot (8^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.4.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (8^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (64 (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.3

Multiplica $3$ por $64$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.4

Multiplica $- 1$ por $192$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.5

Multiplica $3$ por $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {(- \sqrt{19})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.6

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 (1 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.8

Multiplica ${\sqrt{19}}^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {\sqrt{19}}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.9

Reescribe ${\sqrt{19}}^{2}$ como $19$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.4.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{19}$ como $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.4.9.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.9.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.9.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.10

Multiplica $24$ por $19$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.11

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.13

Reescribe ${\sqrt{19}}^{3}$ como $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{19^{3}}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.14

Eleva $19$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{6859}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.15

Reescribe $6859$ como $19^{2} \cdot 19$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.4.15.1

Factoriza $361$ de $6859$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{361 (19)}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.15.2

Reescribe $361$ como $19^{2}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.16

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - (19 \sqrt{19})}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.4.17

Multiplica $19$ por $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.5

Suma $512$ y $456$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 192 \sqrt{19} - 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.6

Resta $19 \sqrt{19}$ de $- 192 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.7

Aplica la regla del producto a $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 - \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.9

Reescribe ${(8 - \sqrt{19})}^{2}$ como $(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.10

Expande $(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 15.2.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 (8 - \sqrt{19}) - \sqrt{19} (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 15.2.1.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.11.1.1

Multiplica $8$ por $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.1.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.1.4

Multiplica $- \sqrt{19} (- \sqrt{19})$ .

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Paso 15.2.1.11.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 1 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.1.4.2

Multiplica $\sqrt{19}$ por $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.1.4.3

Eleva $\sqrt{19}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.1.4.4

Eleva $\sqrt{19}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.1.5

Reescribe ${\sqrt{19}}^{2}$ como $19$ .

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Paso 15.2.1.11.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{19}$ como $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.1.11.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.2

Suma $64$ y $19$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.11.3

Resta $8 \sqrt{19}$ de $- 8 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 - 16 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.12

Combina $8$ y $\frac{83 - 16 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Paso 15.2.1.13

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.2.1.13.1

Factoriza $3$ de $- 15$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} + 3 (- 5) (\frac{8 - \sqrt{19}}{3})$

Paso 15.2.1.13.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (- 5 \frac{8 - \sqrt{19}}{3})$

Paso 15.2.1.13.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 5 (8 - \sqrt{19})$

Paso 15.2.1.14

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 5 \cdot 8 - 5 (- \sqrt{19})$

Paso 15.2.1.15

Multiplica $- 5$ por $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 40 - 5 (- \sqrt{19})$

Paso 15.2.1.16

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.2

Para escribir $\frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $27$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 15.2.3.1

Multiplica $\frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.3.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (968 - 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 968 - (- 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.5.2

Multiplica $- 1$ por $968$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - (- 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.5.3

Multiplica $- 211$ por $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (8 \cdot 83 + 8 (- 16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.5.5

Multiplica $8$ por $83$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (664 + 8 (- 16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.5.6

Multiplica $- 16$ por $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (664 - 128 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.5.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 664 \cdot 3 - 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.5.8

Multiplica $664$ por $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 1992 - 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.5.9

Multiplica $3$ por $- 128$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 1992 - 384 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.5.10

Suma $- 968$ y $1992$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 211 \sqrt{19} - 384 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.5.11

Resta $384 \sqrt{19}$ de $211 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.6

Para escribir $- 40$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} - 40 \cdot \frac{27}{27} + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.7

Combina $- 40$ y $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 40 \cdot 27}{27} + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 15.2.8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19} - 40 \cdot 27}{27} + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.8.2

Multiplica $- 40$ por $27$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19} - 1080}{27} + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.8.3

Resta $1080$ de $1024$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + 5 \sqrt{19}$

Paso 15.2.9

Para escribir $5 \sqrt{19}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + 5 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 15.2.10

Combina fracciones.

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Paso 15.2.10.1

Combina $5 \sqrt{19}$ y $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Paso 15.2.10.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19} + 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Paso 15.2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.11.1

Multiplica $27$ por $5$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19} + 135 \sqrt{19}}{27}$

Paso 15.2.11.2

Suma $- 173 \sqrt{19}$ y $135 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Paso 15.2.12

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 15.2.12.1

Reescribe $- 56$ como $- 1 (56)$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Paso 15.2.12.2

Factoriza $- 1$ de $- 38 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - (38 \sqrt{19})}{27}$

Paso 15.2.12.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (56) - (38 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (56 + 38 \sqrt{19})}{27}$

Paso 15.2.12.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Paso 15.2.13

La respuesta final es $- \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = - x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ .

$(\frac{8 + \sqrt{19}}{3}, - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27})$ es un máximo local

$(\frac{8 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27})$ es un mínimo local

Paso 17