Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x - \frac{5}{x}$ on $5$ , $7$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \frac{5}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{x}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 - 5 (- x^{- 2})$

Paso 1.1.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$2 + 5 x^{- 2}$

Paso 1.1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 5 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.4.2

Combina $5$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{5}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.4.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{5}{x^{2}} + 2$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{5}{x^{2}} + 2$ .

$\frac{5}{x^{2}} + 2$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$

Paso 1.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$

Paso 1.2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 1.2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 1.2.4

Multiplica cada término en $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ por $x^{2}$ .

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$5 = - 2 x^{2}$

Paso 1.2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.5.1

Reescribe la ecuación como $- 2 x^{2} = 5$ .

$- 2 x^{2} = 5$

Paso 1.2.5.2

Divide cada término en $- 2 x^{2} = 5$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.2.1

Divide cada término en $- 2 x^{2} = 5$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

Paso 1.2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.2.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

Paso 1.2.5.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{- 2}$

Paso 1.2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{5}{2}$

Paso 1.2.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$

Paso 1.2.5.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$ .

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Paso 1.2.5.4.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{5}{2}}$

Paso 1.2.5.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{5}{2}}$

Paso 1.2.5.4.3

Reescribe $\sqrt{\frac{5}{2}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

Paso 1.2.5.4.4

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 1.2.5.4.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.5.4.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 1.2.5.4.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 1.2.5.4.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 1.2.5.4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.5.4.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 1.2.5.4.5.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.2.5.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.5.4.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.5.4.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.5.4.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.5.4.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.5.4.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 1.2.5.4.5.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.5.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.4.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

Paso 1.2.5.4.6.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{2}$

Paso 1.2.5.4.7

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{10}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Paso 1.2.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Paso 1.2.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Paso 1.2.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}, - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{5}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.4

Evalúa $2 x - \frac{5}{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$2 (0) - \frac{5}{0}$

Paso 1.4.1.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.5

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = 5$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $5$ por $x$ .

$2 (5) - \frac{5}{5}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 - \frac{5}{5}$

Paso 2.1.2.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.1.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$10 - \frac{5}{5}$

Paso 2.1.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$10 - 1 \cdot 1$

Paso 2.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$10 - 1$

Paso 2.1.2.2

Resta $1$ de $10$ .

$9$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 7$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $7$ por $x$ .

$2 (7) - \frac{5}{7}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$14 - \frac{5}{7}$

Paso 2.2.2.2

Para escribir $14$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$14 \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7}$

Paso 2.2.2.3

Combina $14$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{14 \cdot 7}{7} - \frac{5}{7}$

Paso 2.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{14 \cdot 7 - 5}{7}$

Paso 2.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.5.1

Multiplica $14$ por $7$ .

$\frac{98 - 5}{7}$

Paso 2.2.2.5.2

Resta $5$ de $98$ .

$\frac{93}{7}$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(5, 9), (7, \frac{93}{7})$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(7, \frac{93}{7})$

Mínimo absoluto: $(5, 9)$

Paso 4