Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{x}$ , $- 2 \leq x \leq - 1$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica.

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Paso 1.1.1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2.3.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Paso 1.1.1.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Paso 1.1.1.2.5.2

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$x^{- 2}$

Paso 1.1.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.4

Evalúa $- \frac{1}{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$- \frac{1}{0}$

Paso 1.4.1.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.5

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$- \frac{1}{- 2}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{1}{2}$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 2.2

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$- \frac{1}{- 1}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$- - 1$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 2, \frac{1}{2}), (- 1, 1)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 1, 1)$

Mínimo absoluto: $(- 2, \frac{1}{2})$

Paso 4