Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ , $- 1 \leq x \leq 2$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4.2

Multiplica $x^{2} + 3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1.3.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 1.1.1.3.5.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.1.2

Reescribe $- 2$ como $1$ más $- 3$

$\frac{- x^{2} + (1 - 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 1 x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} + x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.3.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} + x) - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x + 1) + 3 (- x + 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.7

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.9

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 1.2.3.2

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.3.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.2.3.3

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.3.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 1.2.3.3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 1.2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 3$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{(1) + 1}{{(1)}^{2} + 3}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2}{1^{2} + 3}$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{1 + 3}$

Paso 1.4.1.2.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{2}{4}$

Paso 1.4.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Paso 1.4.1.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.1.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = - 3$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

$\frac{(- 3) + 1}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Suma $- 3$ y $1$ .

$\frac{- 2}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Paso 1.4.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.4.2.2.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 2}{9 + 3}$

Paso 1.4.2.2.2.2

Suma $9$ y $3$ .

$\frac{- 2}{12}$

Paso 1.4.2.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $12$ .

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Paso 1.4.2.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Paso 1.4.2.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Paso 1.4.2.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Paso 1.4.2.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{6}$

Paso 1.4.2.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{6}$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(1, \frac{1}{2}), (- 3, - \frac{1}{6})$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(1, \frac{1}{2})$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\frac{(- 1) + 1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{1 + 3}$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{0}{4}$

Paso 3.1.2.3

Divide $0$ por $4$ .

$0$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{(2) + 1}{{(2)}^{2} + 3}$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3}{2^{2} + 3}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3}{4 + 3}$

Paso 3.2.2.2.2

Suma $4$ y $3$ .

$\frac{3}{7}$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(- 1, 0), (2, \frac{3}{7})$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, \frac{1}{2})$

Mínimo absoluto: $(- 1, 0)$

Paso 5