Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$ , $[0, 4]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $\frac{2}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.2.6.2

Resta $2$ de $5$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.2.7

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.2.8

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.2.9

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.2.10

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.2.11

Cancela el factor común.

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.2.12

Divide $x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- \frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.3.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.3.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.3.8

Multiplica $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.3.9

Multiplica $2$ por $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.3.10

Multiplica $2$ por $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.3.11

Cancela el factor común.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.3.12

Divide $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} + 0$

Paso 1.1.1.4.2

Suma $x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$ y $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Obtén un factor común $x^{\frac{1}{2}}$ que esté presente en cada término.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.3

Sustituye $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(u)}^{3} - (u) = 0$

Paso 1.2.4

Resuelve $u$

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Paso 1.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $u$ .

$u^{3} - u = 0$

Paso 1.2.4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.4.2.1

Factoriza $u$ de $u^{3} - u$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Factoriza $u$ de $u^{3}$ .

$u \cdot u^{2} - u = 0$

Paso 1.2.4.2.1.2

Factoriza $u$ de $- u$ .

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 1 = 0$

Paso 1.2.4.2.1.3

Factoriza $u$ de $u \cdot u^{2} + u \cdot - 1$ .

$u (u^{2} - 1) = 0$

Paso 1.2.4.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 1.2.4.2.3

Factoriza.

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Paso 1.2.4.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

$u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

Paso 1.2.4.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$u (u + 1) (u - 1) = 0$

Paso 1.2.4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Paso 1.2.4.4

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

Paso 1.2.4.5

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 1.2.4.5.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 1.2.4.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 1.2.4.6

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 1.2.4.6.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 1.2.4.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 1.2.4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $u (u + 1) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = 0, - 1, 1$

Paso 1.2.5

Sustituye $x$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0, - 1, 1$

Paso 1.2.6

Resuelve para $x^{\frac{1}{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.2.6.2

Simplifica el exponente.

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Paso 1.2.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.6.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.6.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.2.6.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{2}$

Paso 1.2.6.2.1.1.2

Simplifica.

$x = 0^{2}$

Paso 1.2.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.6.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.7

Resuelve para $x^{\frac{1}{2}} = - 1$ en $x$ .

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Paso 1.2.7.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.7.2

Simplifica el exponente.

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Paso 1.2.7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.7.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.7.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.7.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.7.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.7.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.7.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.7.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 1)}^{2}$

Paso 1.2.7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.7.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = 1$

Paso 1.2.8

Enumera todas las soluciones.

$x = 0, 1, 1$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt{x^{3}} - x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.3.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt{x^{3}} - \sqrt{x^{1}}$

Paso 1.3.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\sqrt{x^{3}} - \sqrt{x}$

Paso 1.3.2

Establece el radicando en $\sqrt{x^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} < 0$

Paso 1.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x < 0$

Paso 1.3.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.2.1.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 1.4.1.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 1.4.1.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.1.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 1.4.1.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 1.4.1.2.1.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 1.4.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 1.4.1.2.1.3

Divide $0$ por $5$ .

$0 - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 1.4.1.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.2.1.4.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$0 - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 1.4.1.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Paso 1.4.1.2.1.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.1.2.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$0 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Paso 1.4.1.2.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$0 - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - 6$

Paso 1.4.1.2.1.4.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - \frac{2 \cdot 0}{3} - 6$

Paso 1.4.1.2.1.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 - \frac{0}{3} - 6$

Paso 1.4.1.2.1.6

Divide $0$ por $3$ .

$0 - 0 - 6$

Paso 1.4.1.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 - 6$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 - 6$

Paso 1.4.1.2.2.2

Resta $6$ de $0$ .

$- 6$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{2 {(1)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 \cdot 1}{5} - \frac{2 {(1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 1.4.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{5} - \frac{2 {(1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 1.4.2.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot 1}{3} - 6$

Paso 1.4.2.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{5} - \frac{2}{3} - 6$

Paso 1.4.2.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 1.4.2.2.2.1

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - 6$

Paso 1.4.2.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} - 6$

Paso 1.4.2.2.2.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}) - 6$

Paso 1.4.2.2.2.4

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - 6$

Paso 1.4.2.2.2.5

Escribe $- 6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6}{1}$

Paso 1.4.2.2.2.6

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Paso 1.4.2.2.2.7

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Paso 1.4.2.2.2.8

Reordena los factores de $5 \cdot 3$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Paso 1.4.2.2.2.9

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Paso 1.4.2.2.2.10

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{2 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Paso 1.4.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \cdot 3 - 2 \cdot 5 - 6 \cdot 15}{15}$

Paso 1.4.2.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.4.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 5 - 6 \cdot 15}{15}$

Paso 1.4.2.2.4.2

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{6 - 10 - 6 \cdot 15}{15}$

Paso 1.4.2.2.4.3

Multiplica $- 6$ por $15$ .

$\frac{6 - 10 - 90}{15}$

Paso 1.4.2.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.5.1

Resta $10$ de $6$ .

$\frac{- 4 - 90}{15}$

Paso 1.4.2.2.5.2

Resta $90$ de $- 4$ .

$\frac{- 94}{15}$

Paso 1.4.2.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{94}{15}$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(0, - 6), (1, - \frac{94}{15})$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.1.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.1.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.1.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.1.2.1.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.1.2.1.3

Divide $0$ por $5$ .

$0 - \frac{2 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.1.2.1.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.4.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$0 - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.1.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Paso 2.1.2.1.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$0 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Paso 2.1.2.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$0 - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - 6$

Paso 2.1.2.1.4.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - \frac{2 \cdot 0}{3} - 6$

Paso 2.1.2.1.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 - \frac{0}{3} - 6$

Paso 2.1.2.1.6

Divide $0$ por $3$ .

$0 - 0 - 6$

Paso 2.1.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 - 6$

Paso 2.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 - 6$

Paso 2.1.2.2.2

Resta $6$ de $0$ .

$- 6$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$\frac{2 {(4)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.2.2.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 2.2.2.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.2.2.1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.2.2.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2^{1 + 5}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.2.2.1.1.4

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{2^{6}}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.1.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 6$

Paso 2.2.2.1.3.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 2.2.2.1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Paso 2.2.2.1.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - 6$

Paso 2.2.2.1.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - 6$

Paso 2.2.2.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{64}{5} - \frac{2^{1 + 3}}{3} - 6$

Paso 2.2.2.1.3.4

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2^{4}}{3} - 6$

Paso 2.2.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{64}{5} - \frac{16}{3} - 6$

Paso 2.2.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica $\frac{64}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} - 6$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $\frac{64}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16}{3} - 6$

Paso 2.2.2.2.3

Multiplica $\frac{16}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - (\frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5}) - 6$

Paso 2.2.2.2.4

Multiplica $\frac{16}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} - 6$

Paso 2.2.2.2.5

Escribe $- 6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6}{1}$

Paso 2.2.2.2.6

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Paso 2.2.2.2.7

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.2.8

Reordena los factores de $5 \cdot 3$ .

$\frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 5} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.2.9

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{64 \cdot 3}{15} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.2.10

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{64 \cdot 3}{15} - \frac{16 \cdot 5}{15} + \frac{- 6 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{64 \cdot 3 - 16 \cdot 5 - 6 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.4.1

Multiplica $64$ por $3$ .

$\frac{192 - 16 \cdot 5 - 6 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.4.2

Multiplica $- 16$ por $5$ .

$\frac{192 - 80 - 6 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.4.3

Multiplica $- 6$ por $15$ .

$\frac{192 - 80 - 90}{15}$

Paso 2.2.2.5

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.2.2.5.1

Resta $80$ de $192$ .

$\frac{112 - 90}{15}$

Paso 2.2.2.5.2

Resta $90$ de $112$ .

$\frac{22}{15}$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(0, - 6), (4, \frac{22}{15})$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(4, \frac{22}{15})$

Mínimo absoluto: $(1, - \frac{94}{15})$

Paso 4