Cálculo Ejemplos

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ , $[- 3, 1]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3.2

Combina fracciones.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3.2.2

Combina $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ y $x$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3.4

Multiplica $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

Paso 1.1.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.3.6.1

Multiplica $e^{\frac{x}{2}}$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Paso 1.1.1.3.6.2

Reordena los factores en $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $e^{\frac{x}{2}}$ de $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $e^{\frac{x}{2}}$ de $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Paso 1.2.2.2

Multiplica por $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $e^{\frac{x}{2}}$ de $e^{\frac{x}{2}} \frac{x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $e^{\frac{x}{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $e^{\frac{x}{2}}$ igual a $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $e^{\frac{x}{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{\frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Paso 1.2.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 1.2.4.2.3

No hay soluciones para $e^{\frac{x}{2}} = 0$

No hay solución

Paso 1.2.5

Establece $\frac{x}{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $\frac{x}{2} + 1$ igual a $0$ .

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $\frac{x}{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = - 1$

Paso 1.2.5.2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Paso 1.2.5.2.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.2.5.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.5.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Paso 1.2.5.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \cdot - 1$

Paso 1.2.5.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.3.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = - 2$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 2$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x e^{\frac{x}{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$(- 2) \cdot e^{\frac{- 2}{2}}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Divide $- 2$ por $2$ .

$- 2 \cdot e^{- 1}$

Paso 1.4.1.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \cdot \frac{1}{e}$

Paso 1.4.1.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 2}{e}$

Paso 1.4.1.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{e}$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(- 2, - \frac{2}{e})$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 3$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

$(- 3) \cdot e^{\frac{- 3}{2}}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 3 \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Paso 2.1.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.2.3

Combina $- 3$ y $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 3}{e^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$(1) \cdot e^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.2.2

Multiplica $e^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 3, - \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}), (1, e^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, e^{\frac{1}{2}})$

Mínimo absoluto: $(- 2, - \frac{2}{e})$

Paso 4