Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x + 5}{3}$ , $[0, 5]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x + 5}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Paso 1.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 1.1.1.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 1.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 1.1.1.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 1.1.1.6

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} (2 + 0)$

Paso 1.1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.1.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2$

Paso 1.1.1.7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2}{3} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{3} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{2 (0) + 5}{3}$

Paso 2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 5}{3}$

Paso 2.1.2.2

Suma $0$ y $5$ .

$\frac{5}{3}$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 5$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $5$ por $x$ .

$\frac{2 (5) + 5}{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{10 + 5}{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Suma $10$ y $5$ .

$\frac{15}{3}$

Paso 2.2.2.2

Divide $15$ por $3$ .

$5$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(0, \frac{5}{3}), (5, 5)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(5, 5)$

Mínimo absoluto: $(0, \frac{5}{3})$

Paso 4