Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ on $2$ , $7$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 27 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [108 x]$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 27$ .

$6 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [108 x]$

Paso 1.1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [108 x]$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Como $108$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $108 x$ con respecto a $x$ es $108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 \cdot 1$

Paso 1.1.1.4.3

Multiplica $108$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 54 x + 108$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{2} - 54 x + 108$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2} - 54 x + 108$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 54 x + 108 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Factoriza $6$ de $- 54 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 9 x) + 108 = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $6$ de $108$ .

$6 x^{2} + 6 (- 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

Paso 1.2.2.1.4

Factoriza $6$ de $6 x^{2} + 6 (- 9 x)$ .

$6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

Paso 1.2.2.1.5

Factoriza $6$ de $6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18$ .

$6 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza.

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Paso 1.2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 9 x + 18$ con el método AC.

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Paso 1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $18$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 6, - 3$

Paso 1.2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$6 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 (x - 6) (x - 3) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 1.2.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 (x - 6) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 6, 3$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 6$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $6$ por $x$ .

$2 {(6)}^{3} - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot 216 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Paso 1.4.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $216$ .

$432 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Paso 1.4.1.2.1.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$432 - 27 \cdot 36 + 108 (6)$

Paso 1.4.1.2.1.4

Multiplica $- 27$ por $36$ .

$432 - 972 + 108 (6)$

Paso 1.4.1.2.1.5

Multiplica $108$ por $6$ .

$432 - 972 + 648$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Resta $972$ de $432$ .

$- 540 + 648$

Paso 1.4.1.2.2.2

Suma $- 540$ y $648$ .

$108$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$2 {(3)}^{3} - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot 27 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Paso 1.4.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $27$ .

$54 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Paso 1.4.2.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$54 - 27 \cdot 9 + 108 (3)$

Paso 1.4.2.2.1.4

Multiplica $- 27$ por $9$ .

$54 - 243 + 108 (3)$

Paso 1.4.2.2.1.5

Multiplica $108$ por $3$ .

$54 - 243 + 324$

Paso 1.4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.4.2.2.2.1

Resta $243$ de $54$ .

$- 189 + 324$

Paso 1.4.2.2.2.2

Suma $- 189$ y $324$ .

$135$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(6, 108), (3, 135)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$2 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.2.1.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{3}$ .

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Paso 2.1.2.1.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Paso 2.1.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{1 + 3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Paso 2.1.2.1.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$2^{4} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Paso 2.1.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$16 - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Paso 2.1.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$16 - 27 \cdot 4 + 108 (2)$

Paso 2.1.2.1.4

Multiplica $- 27$ por $4$ .

$16 - 108 + 108 (2)$

Paso 2.1.2.1.5

Multiplica $108$ por $2$ .

$16 - 108 + 216$

Paso 2.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.1.2.2.1

Resta $108$ de $16$ .

$- 92 + 216$

Paso 2.1.2.2.2

Suma $- 92$ y $216$ .

$124$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 7$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $7$ por $x$ .

$2 {(7)}^{3} - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot 343 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $343$ .

$686 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Paso 2.2.2.1.3

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$686 - 27 \cdot 49 + 108 (7)$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $- 27$ por $49$ .

$686 - 1323 + 108 (7)$

Paso 2.2.2.1.5

Multiplica $108$ por $7$ .

$686 - 1323 + 756$

Paso 2.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.2.1

Resta $1323$ de $686$ .

$- 637 + 756$

Paso 2.2.2.2.2

Suma $- 637$ y $756$ .

$119$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(2, 124), (7, 119)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(3, 135)$

Mínimo absoluto: $(6, 108)$

Paso 4