Cálculo Ejemplos

$x^{2} \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Paso 1.3.4

Reordena los términos.

$2 x \ln (x) + x$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x \ln (x) + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.5

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.6

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.6.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.7

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Paso 2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Paso 2.4.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 x \ln (x) + x = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Paso 4.1.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x \ln (x) + x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Paso 5.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (x) = - x$

Paso 5.3

Divide cada término en $2 x \ln (x) = - x$ por $2 x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Divide cada término en $2 x \ln (x) = - x$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 5.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 5.5

Reescribe $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Paso 5.6

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Paso 5.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 6.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 3$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Mueve $e^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 3$

Paso 9.1.2

Expande $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $- \frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$2 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 3$

Paso 9.1.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 3$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 (- \frac{1}{2}) + 3$

Paso 9.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Paso 9.1.5.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

Paso 9.1.5.3

Reescribe la expresión.

$- 1 + 3$

Paso 9.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$2$

Paso 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2.2.2

Simplifica.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2.3

Mueve $e^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Paso 11.2.4

Expande $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $- \frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

Paso 11.2.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Paso 11.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

Paso 11.2.7

Multiplica $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{e \cdot 2}$

Paso 11.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{2 e}$

Paso 11.2.9

La respuesta final es $- \frac{1}{2 e}$ .

$y = - \frac{1}{2 e}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$ es un mínimo local

Paso 13