Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ on $[0, 2]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $3 x^{2} - 3$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 3 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 3$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $3 x^{2} = 3$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $3$ por $3$ .

$x^{2} = 1$

Paso 1.2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 1.2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 1.2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 1.2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 1.2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x^{3} - 3 x + 1$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

${(1)}^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 3 \cdot 1 + 1$

Paso 1.4.1.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$1 - 3 + 1$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Resta $3$ de $1$ .

$- 2 + 1$

Paso 1.4.1.2.2.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$- 1$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 + 1$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1 + 1$

Paso 1.4.2.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- 1 + 3 + 1$

Paso 1.4.2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 1.4.2.2.2.1

Suma $- 1$ y $3$ .

$2 + 1$

Paso 1.4.2.2.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$3$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(1, - 1), (- 1, 3)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(1, - 1)$

Paso 3

Usa la prueba de la primera derivada para determinar qué puntos pueden ser máximos o mínimos.

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Paso 3.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 3.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la primera derivada $3 x^{2} - 3$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 3$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 3$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f' (- 4) = 48 - 3$

Paso 3.2.2.2

Resta $3$ de $48$ .

$f' (- 4) = 45$

Paso 3.2.2.3

La respuesta final es $45$ .

$45$

Paso 3.3

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- 1, 1)$ en la primera derivada $3 x^{2} - 3$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 3$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 3$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Paso 3.3.2.2

Resta $3$ de $0$ .

$f' (0) = - 3$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 3.4

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(1, \infty)$ en la primera derivada $3 x^{2} - 3$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 3$

Paso 3.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 3$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f' (4) = 48 - 3$

Paso 3.4.2.2

Resta $3$ de $48$ .

$f' (4) = 45$

Paso 3.4.2.3

La respuesta final es $45$ .

$45$

Paso 3.5

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = - 1$ , $x = - 1$ es un máximo local.

$x = - 1$ es un máximo local

Paso 3.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 1$ , $x = 1$ es un mínimo local.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 3.7

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ .

$x = - 1$ es un máximo local

$x = 1$ es un mínimo local

$x = - 1$ es un máximo local

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Sin máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(1, - 1)$

Paso 5