Cálculo Ejemplos

$y = 2 {(\frac{1}{5})}^{x}$ , $[- 2, 3]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 {(\frac{1}{5})}^{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $\frac{1}{5}$ .

$2 ({(\frac{1}{5})}^{x} \ln (\frac{1}{5}))$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$2 \frac{1^{x}}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Paso 1.1.1.3.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{1}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Paso 1.1.1.3.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{5^{x}}$ .

$\frac{2}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Paso 1.1.1.3.2.3

Combina $\frac{2}{5^{x}}$ y $\ln (\frac{1}{5})$ .

$f' (x) = \frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$ .

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 \ln (\frac{1}{5}) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Simplifica $2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Simplifica $2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{2.71828182} ({(\frac{1}{5})}^{2}) = 0$

Paso 1.2.3.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$\log_{2.71828182} (\frac{1^{2}}{5^{2}}) = 0$

Paso 1.2.3.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{5^{2}}) = 0$

Paso 1.2.3.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) = 0$

Paso 1.2.3.2

Como $\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$2 {(\frac{1}{5})}^{- 2}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$2 \cdot 5^{2}$

Paso 2.1.2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$2 \cdot 25$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $25$ .

$50$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$2 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$2 \frac{1^{3}}{5^{3}}$

Paso 2.2.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{1}{5^{3}}$

Paso 2.2.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$2 (\frac{1}{125})$

Paso 2.2.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{125}$ .

$\frac{2}{125}$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 2, 50), (3, \frac{2}{125})$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 2, 50)$

Mínimo absoluto: $(3, \frac{2}{125})$

Paso 4