Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x)$

Paso 1

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\cos (x) = 0$

Paso 4

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 6

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 7

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 7.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 7.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 7.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 7.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 8

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 10.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 11

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{2}$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Paso 12.2.2

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Paso 14.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Paso 14.3

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 14.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- - 1$

Paso 14.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1$

Paso 15

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2}$ es un mínimo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

$f (\frac{3 π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Paso 16.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Paso 16.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Paso 16.2.4

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 17

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ es un máximo local

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ es un mínimo local

Paso 18