Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x - 5} - 4$ ; $10 \leq x \leq 21$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x - 5} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 5}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - 5$ .

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Paso 1.1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 5$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.11

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.13

Multiplica $\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.2.14

Mueve ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x - 5)}^{1}}}$

Paso 1.3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{1}{2 \sqrt{x - 5}}$

Paso 1.3.2

Establece el denominador en $\frac{1}{2 \sqrt{x - 5}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{x - 5} = 0$

Paso 1.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x - 5})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Simplifica ${(2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(x - 5)}^{1} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 (x - 5) = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 \cdot - 5 = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.6

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$4 x - 20 = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x - 20 = 0$

Paso 1.3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.3.1

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 20$

Paso 1.3.3.3.2

Divide cada término en $4 x = 20$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Divide cada término en $4 x = 20$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{20}{4}$

Paso 1.3.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{20}{4}$

Paso 1.3.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{20}{4}$

Paso 1.3.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.2.3.1

Divide $20$ por $4$ .

$x = 5$

Paso 1.3.4

Establece el radicando en $\sqrt{x - 5}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 5 < 0$

Paso 1.3.5

Suma $5$ a ambos lados de la desigualdad.

$x < 5$

Paso 1.3.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 5$

$(- \infty, 5]$

$x \leq 5$

$(- \infty, 5]$

Paso 1.4

Evalúa $\sqrt{x - 5} - 4$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 5$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $5$ por $x$ .

$\sqrt{(5) - 5} - 4$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Resta $5$ de $5$ .

$\sqrt{0} - 4$

Paso 1.4.1.2.1.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} - 4$

Paso 1.4.1.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0 - 4$

Paso 1.4.1.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$- 4$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(5, - 4)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = 10$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $10$ por $x$ .

$\sqrt{(10) - 5} - 4$

Paso 3.1.2

Resta $5$ de $10$ .

$\sqrt{5} - 4$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 21$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $21$ por $x$ .

$\sqrt{(21) - 5} - 4$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Resta $5$ de $21$ .

$\sqrt{16} - 4$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}} - 4$

Paso 3.2.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$4 - 4$

Paso 3.2.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$0$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(10, \sqrt{5} - 4), (21, 0)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(21, 0)$

Mínimo absoluto: $(10, \sqrt{5} - 4)$

Paso 5