Cálculo Ejemplos

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ , $0 \leq θ \leq 2 π$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $2 \cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Paso 1.1.1.2.2

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = θ^{2}$ y $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Paso 1.1.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Paso 1.1.1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Paso 1.1.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Paso 1.1.1.3.2

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Paso 1.1.1.4

Reordena los términos.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (θ)$ con respecto a $θ$ es $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $2 \sin (θ)$ de $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $2 \sin (θ)$ de $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $2 \sin (θ)$ de $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $2 \sin (θ)$ de $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $\sin (θ)$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $\sin (θ)$ igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $\sin (θ) = 0$ en $θ$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (0)$

Paso 1.2.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$θ = 0$

Paso 1.2.4.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - 0$

Paso 1.2.4.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$θ = π$

Paso 1.2.4.2.5

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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Paso 1.2.4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.2.4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.2.4.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.2.4.2.6

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.5

Establece $- \cos (θ) - 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $- \cos (θ) - 1$ igual a $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $- \cos (θ) - 1 = 0$ en $θ$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- \cos (θ) = 1$

Paso 1.2.5.2.2

Divide cada término en $- \cos (θ) = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.2.2.1

Divide cada término en $- \cos (θ) = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 1.2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 1.2.5.2.2.2.2

Divide $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

Paso 1.2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

Paso 1.2.5.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (- 1)$

Paso 1.2.5.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$θ = π$

Paso 1.2.5.2.5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π - π$

Paso 1.2.5.2.6

Resta $π$ de $2 π$ .

$θ = π$

Paso 1.2.5.2.7

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 1.2.5.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.5.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.2.5.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.2.5.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.2.5.2.8

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ verdadera.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.7

Consolida las respuestas.

$θ = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ en cada valor $θ$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $θ = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $θ$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Paso 1.4.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Paso 1.4.1.2.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 + 1^{2}$

Paso 1.4.1.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 + 1$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$3$

Paso 1.4.2

Evalúa en $θ = π$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $π$ por $θ$ .

$2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

Paso 1.4.2.2.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

Paso 1.4.2.2.1.3

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 1.4.2.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

Paso 1.4.2.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 + \cos^{2} (π)$

Paso 1.4.2.2.1.4

$- 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 + {(- 1)}^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 2 + 1$

Paso 1.4.2.2.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$- 1$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(0 + 2 π n, 3), (π + 2 π n, - 1)$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(0, 3), (2 π, 3), (π, - 1)$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $θ = 0$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $0$ por $θ$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Paso 3.1.2.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 + 1^{2}$

Paso 3.1.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 + 1$

Paso 3.1.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$3$

Paso 3.2

Evalúa en $θ = 2 π$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $2 π$ por $θ$ .

$2 \cos (2 π) + \cos^{2} (2 π)$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (2 π)$

Paso 3.2.2.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (2 π)$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \cos^{2} (2 π)$

Paso 3.2.2.1.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Paso 3.2.2.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 + 1^{2}$

Paso 3.2.2.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 + 1$

Paso 3.2.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$3$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 3), (2 π, 3)$

Paso 4

Compara los valores de $f (θ)$ encontrados para cada valor de $θ$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (θ)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (θ)$ .

Máximo absoluto: $(0, 3), (2 π, 3)$

Mínimo absoluto: $(π, - 1)$

Paso 5