Cálculo Ejemplos

$f (t) = \frac{t^{2}}{t - 8}$ ; $- 2 \leq t \leq - \frac{1}{4}$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = t - 8$ .

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(t - 8) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $t - 8$ .

$\frac{2 \cdot (t - 8) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 8$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.5

Como $- 8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.3.1.1

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.3.1.1.1

Mueve $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.1.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.1.2

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{2 t^{2} - 16 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3.2

Resta $t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4

Factoriza $t$ de $t^{2} - 16 t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.4.1

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.2

Factoriza $t$ de $- 16 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 16}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4.3

Factoriza $t$ de $t \cdot t + t \cdot - 16$ .

$f' (t) = \frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$t (t - 16) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$t = 0$

$t - 16 = 0$

Paso 1.2.3.2

Establece $t$ igual a $0$ .

$t = 0$

Paso 1.2.3.3

Establece $t - 16$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.1

Establece $t - 16$ igual a $0$ .

$t - 16 = 0$

Paso 1.2.3.3.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$t = 16$

Paso 1.2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $t (t - 16) = 0$ verdadera.

$t = 0, 16$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(t - 8)}^{2} = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $t$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Establece $t - 8$ igual a $0$ .

$t - 8 = 0$

Paso 1.3.2.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$t = 8$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{t^{2}}{t - 8}$ en cada valor $t$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Evalúa en $t = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $t$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 - 8}$

Paso 1.4.1.2.2

Resta $8$ de $0$ .

$\frac{0}{- 8}$

Paso 1.4.1.2.3

Divide $0$ por $- 8$ .

$0$

Paso 1.4.2

Evalúa en $t = 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Sustituye $16$ por $t$ .

$\frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$\frac{256}{16 - 8}$

Paso 1.4.2.2.2

Resta $8$ de $16$ .

$\frac{256}{8}$

Paso 1.4.2.2.3

Divide $256$ por $8$ .

$32$

Paso 1.4.3

Evalúa en $t = 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.1

Sustituye $8$ por $t$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{(8) - 8}$

Paso 1.4.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.2.1

Resta $8$ de $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{0}$

Paso 1.4.3.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (16, 32)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Evalúa en $t = - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Sustituye $- 2$ por $t$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) - 8}$

Paso 3.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4}{- 2 - 8}$

Paso 3.1.2.1.2

Resta $8$ de $- 2$ .

$\frac{4}{- 10}$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $- 10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2)}{- 10}$

Paso 3.1.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Paso 3.1.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Paso 3.1.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{- 5}$

Paso 3.1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{5}$

Paso 3.2

Evalúa en $t = - \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Sustituye $- \frac{1}{4}$ por $t$ .

$\frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{(- \frac{1}{4}) - 8}$

Paso 3.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{4}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Paso 3.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Paso 3.2.2.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Paso 3.2.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Paso 3.2.2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1 (\frac{1}{16})}{- \frac{1}{4} - 8}$

Paso 3.2.2.1.6

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.2.1

Para escribir $- 8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 3.2.2.2.2

Combina $- 8$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}}$

Paso 3.2.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 8 \cdot 4}{4}}$

Paso 3.2.2.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.2.4.1

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 32}{4}}$

Paso 3.2.2.2.4.2

Resta $32$ de $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 33}{4}}$

Paso 3.2.2.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{33}{4}}$

Paso 3.2.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{16} (- \frac{4}{33})$

Paso 3.2.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{33}$ al numerador.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{- 4}{33}$

Paso 3.2.2.4.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{1}{4 (4)} \cdot \frac{- 4}{33}$

Paso 3.2.2.4.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Paso 3.2.2.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Paso 3.2.2.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{33}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{- 1}{33}$ .

$\frac{- 1}{4 \cdot 33}$

Paso 3.2.2.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.6.1

Multiplica $4$ por $33$ .

$\frac{- 1}{132}$

Paso 3.2.2.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{132}$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(- 2, - \frac{2}{5}), (- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Paso 4

Compara los valores de $f (t)$ encontrados para cada valor de $t$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (t)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (t)$ .

Máximo absoluto: $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Mínimo absoluto: $(- 2, - \frac{2}{5})$

Paso 5