Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$ on interval $- 1$ , $1.5$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{4} - 16}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Paso 1.1.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4} - 16}$ como ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4} - 16$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Paso 1.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Paso 1.1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Paso 1.1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Paso 1.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Paso 1.1.1.3.4

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Paso 1.1.1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.3.5.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Paso 1.1.1.3.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Paso 1.1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Paso 1.1.1.5

Combina los términos.

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Paso 1.1.1.5.1

Combina $- 8$ y $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Paso 1.1.1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Paso 1.1.1.5.3

Combina $x^{3}$ y $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.1.5.4

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 x^{3} = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $8 x^{3} = 0$ por $8$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1.1

Divide cada término en $8 x^{3} = 0$ por $8$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Paso 1.2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 1.2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Paso 1.2.3.1.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

Paso 1.2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1.3.1

Divide $0$ por $8$ .

$x^{3} = 0$

Paso 1.2.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 1.2.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 1.2.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.3.2.1.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Paso 1.3.2.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Paso 1.3.2.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Paso 1.3.2.1.4

Simplifica.

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Paso 1.3.2.1.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Paso 1.3.2.1.4.2

Factoriza.

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Paso 1.3.2.1.4.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Paso 1.3.2.1.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Paso 1.3.2.1.5

Aplica la regla del producto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 1.3.2.1.6

Aplica la regla del producto a $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 1.3.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 1.3.2.3

Establece ${(x^{2} + 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.3.2.3.1

Establece ${(x^{2} + 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Paso 1.3.2.3.2

Resuelve ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.3.2.3.2.1

Establece $x^{2} + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Paso 1.3.2.3.2.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.3.2.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 4$

Paso 1.3.2.3.2.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Paso 1.3.2.3.2.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Paso 1.3.2.3.2.2.3.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Paso 1.3.2.3.2.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Paso 1.3.2.3.2.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Paso 1.3.2.3.2.2.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Paso 1.3.2.3.2.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Paso 1.3.2.3.2.2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Paso 1.3.2.3.2.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.3.2.3.2.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i$

Paso 1.3.2.3.2.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i$

Paso 1.3.2.3.2.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i, - 2 i$

Paso 1.3.2.4

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.3.2.4.1

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 1.3.2.4.2

Resuelve ${(x + 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.3.2.4.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 1.3.2.4.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 1.3.2.5

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.3.2.5.1

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 1.3.2.5.2

Resuelve ${(x - 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.3.2.5.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.3.2.5.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.3.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Paso 1.3.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{2}{x^{4} - 16}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{2}{{(0)}^{4} - 16}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2}{0 - 16}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Resta $16$ de $0$ .

$\frac{2}{- 16}$

Paso 1.4.1.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ y $- 16$ .

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Paso 1.4.1.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 16}$

Paso 1.4.1.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 16$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Paso 1.4.1.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Paso 1.4.1.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 8}$

Paso 1.4.1.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{8}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$\frac{2}{{(- 2)}^{4} - 16}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Paso 1.4.2.2.2

Resta $16$ de $16$ .

$\frac{2}{0}$

Paso 1.4.2.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.4.3

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 1.4.3.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{2}{{(2)}^{4} - 16}$

Paso 1.4.3.2

Simplifica.

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Paso 1.4.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Paso 1.4.3.2.2

Resta $16$ de $16$ .

$\frac{2}{0}$

Paso 1.4.3.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, - \frac{1}{8})$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\frac{2}{{(- 1)}^{4} - 16}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$\frac{2}{1 - 16}$

Paso 2.1.2.1.2

Resta $16$ de $1$ .

$\frac{2}{- 15}$

Paso 2.1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{15}$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 1.5$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $1.5$ por $x$ .

$\frac{2}{{(1.5)}^{4} - 16}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.2.1.1

Eleva $1.5$ a la potencia de $4$ .

$\frac{2}{5.0625 - 16}$

Paso 2.2.2.1.2

Resta $16$ de $5.0625$ .

$\frac{2}{- 10.9375}$

Paso 2.2.2.2

Divide $2$ por $- 10.9375$ .

$- 0.18285714$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 1, - \frac{2}{15}), (1.5, - 0.18285714)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, - \frac{1}{8})$

Mínimo absoluto: $(1.5, - 0.18285714)$

Paso 4