Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin^{2} (x) - \cos (x)$ , and $0 \leq x \leq π$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin^{2} (x) - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.1.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 1.1.1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 1.1.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 1.1.1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - - \sin (x)$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x)$

Paso 1.1.1.3.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$

Paso 1.1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.1.4.1

Reordena los términos.

$2 \cos (x) \sin (x) + \sin (x)$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x)$

Paso 1.1.1.4.2.2

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$

Paso 1.1.1.4.2.3

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$f' (x) = \sin (2 x) + \sin (x)$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (2 x) + \sin (x)$ .

$\sin (2 x) + \sin (x)$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\sin (2 x) + \sin (x) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\sin (2 x) + \sin (x) = 0$

Paso 1.2.2

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x) = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) = 0$

Paso 1.2.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) = 0$

Paso 1.2.3.3

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Paso 1.2.3.4

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) + 1) = 0$

Paso 1.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Paso 1.2.5

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 1.2.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 1.2.5.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 1.2.5.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 1.2.5.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.5.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.2.5.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.2.5.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.2.5.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.6

Establece $2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Paso 1.2.6.2

Resuelve $2 \cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = - 1$

Paso 1.2.6.2.2

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.6.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.2.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.2.6.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.2.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 1.2.6.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 1.2.6.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.6.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 1.2.6.2.5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 1.2.6.2.6

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 1.2.6.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 1.2.6.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 1.2.6.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 1.2.6.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 1.2.6.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.2.6.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 1.2.6.2.6.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 1.2.6.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 1.2.6.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.6.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.2.6.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.2.6.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.2.6.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (x) (2 \cos (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.8

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\sin^{2} (x) - \cos (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sin^{2} (0) - \cos (0)$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0^{2} - \cos (0)$

Paso 1.4.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - \cos (0)$

Paso 1.4.1.2.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.4.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 1.4.1.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = π$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $π$ por $x$ .

$\sin^{2} (π) - \cos (π)$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\sin^{2} (0) - \cos (π)$

Paso 1.4.2.2.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0^{2} - \cos (π)$

Paso 1.4.2.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - \cos (π)$

Paso 1.4.2.2.1.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$0 - - \cos (0)$

Paso 1.4.2.2.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 - (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.4.2.2.1.6

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 1.4.2.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - - 1$

Paso 1.4.2.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1$

Paso 1.4.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 1.4.3

Evalúa en $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 1.4.3.1

Sustituye $\frac{2 π}{3}$ por $x$ .

$\sin^{2} (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.4.3.2

Simplifica.

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Paso 1.4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.3.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\sin^{2} (\frac{π}{3}) - \cos (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.4.3.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.4.3.2.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.4.3.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.4.3.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.4.3.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.4.3.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.4.3.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.3.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.4.3.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3^{1}}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.4.3.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3}{2^{2}} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.4.3.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3}{4} - \cos (\frac{2 π}{3})$

Paso 1.4.3.2.1.6

$\frac{3}{4} - - \cos (\frac{π}{3})$

Paso 1.4.3.2.1.7

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} - - \frac{1}{2}$

Paso 1.4.3.2.1.8

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.4.3.2.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3}{4} + 1 (\frac{1}{2})$

Paso 1.4.3.2.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 1.4.3.2.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.4.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.3.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Paso 1.4.3.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Paso 1.4.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 + 2}{4}$

Paso 1.4.3.2.5

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{5}{4}$

Paso 1.4.4

Enumera todos los puntos.

$(0 + 2 π n, - 1), (π + 2 π n, 1), (\frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5}{4})$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(0, - 1), (π, 1), (\frac{2 π}{3}, \frac{5}{4})$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sin^{2} (0) - \cos (0)$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0^{2} - \cos (0)$

Paso 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - \cos (0)$

Paso 3.1.2.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 3.1.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 3.2

Evalúa en $x = π$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $π$ por $x$ .

$\sin^{2} (π) - \cos (π)$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\sin^{2} (0) - \cos (π)$

Paso 3.2.2.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0^{2} - \cos (π)$

Paso 3.2.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - \cos (π)$

Paso 3.2.2.1.4

$0 - - \cos (0)$

Paso 3.2.2.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 - (- 1 \cdot 1)$

Paso 3.2.2.1.6

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 3.2.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - - 1$

Paso 3.2.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1$

Paso 3.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(0, - 1), (π, 1)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{2 π}{3}, \frac{5}{4})$

Mínimo absoluto: $(0, - 1)$

Paso 5