Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 5 x - 1$ ; between $2$ and $4$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 5 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$3 x^{2} - 5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 5 + 0$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $3 x^{2} - 5$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 5$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 5$ .

$3 x^{2} - 5$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 5 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 5 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 5$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $3 x^{2} = 5$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 5$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{3}$

Paso 1.2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$

Paso 1.2.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{5}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{5}{3}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.3

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 1.2.5.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 1.2.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 1.2.5.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 1.2.5.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Paso 1.2.5.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3}$

Paso 1.2.5.4.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$

Paso 1.2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{15}}{3}$

Paso 1.2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{15}}{3}$

Paso 1.2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{15}}{3}, - \frac{\sqrt{15}}{3}$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x^{3} - 5 x - 1$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Evalúa en $x = \frac{\sqrt{15}}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Sustituye $\frac{\sqrt{15}}{3}$ por $x$ .

${(\frac{\sqrt{15}}{3})}^{3} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{15}}{3}$ .

$\frac{{\sqrt{15}}^{3}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2.1.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.2.1

Reescribe ${\sqrt{15}}^{3}$ como $\sqrt{15^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{15^{3}}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2.1.2.2

Eleva $15$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\sqrt{3375}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2.1.2.3

Reescribe $3375$ como $15^{2} \cdot 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.2.3.1

Factoriza $225$ de $3375$ .

$\frac{\sqrt{225 (15)}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2.1.2.3.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$\frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2.1.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{15 \sqrt{15}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{15 \sqrt{15}}{27} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2.1.4

Cancela el factor común de $15$ y $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $15 \sqrt{15}$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{15})}{27} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.4.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 (9)} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 \cdot 9} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2.1.5

Combina $- 5$ y $\frac{\sqrt{15}}{3}$ .

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{- 5 \sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2.2

Para escribir $- \frac{5 \sqrt{15}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 1$

Paso 1.4.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $\frac{5 \sqrt{15}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 1$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{9} - 1$

Paso 1.4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 \sqrt{15} - 5 \sqrt{15} \cdot 3}{9} - 1$

Paso 1.4.1.2.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.5.1.1

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$\frac{5 \sqrt{15} - 15 \sqrt{15}}{9} - 1$

Paso 1.4.1.2.5.1.2

Resta $15 \sqrt{15}$ de $5 \sqrt{15}$ .

$\frac{- 10 \sqrt{15}}{9} - 1$

Paso 1.4.1.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10 \sqrt{15}}{9} - 1$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = - \frac{\sqrt{15}}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Sustituye $- \frac{\sqrt{15}}{3}$ por $x$ .

${(- \frac{\sqrt{15}}{3})}^{3} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 1$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{15}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{15}}{3})}^{3} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 1$

Paso 1.4.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{15}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{15}}^{3}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 1$

Paso 1.4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{{\sqrt{15}}^{3}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 1$

Paso 1.4.2.2.1.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.3.1

Reescribe ${\sqrt{15}}^{3}$ como $\sqrt{15^{3}}$ .

$- \frac{\sqrt{15^{3}}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 1$

Paso 1.4.2.2.1.3.2

Eleva $15$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{\sqrt{3375}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 1$

Paso 1.4.2.2.1.3.3

Reescribe $3375$ como $15^{2} \cdot 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.3.3.1

Factoriza $225$ de $3375$ .

$- \frac{\sqrt{225 (15)}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 1$

Paso 1.4.2.2.1.3.3.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 1$

Paso 1.4.2.2.1.3.4

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{15 \sqrt{15}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 1$

Paso 1.4.2.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{15 \sqrt{15}}{27} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 1$

Paso 1.4.2.2.1.5

Cancela el factor común de $15$ y $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $15 \sqrt{15}$ .

$- \frac{3 (5 \sqrt{15})}{27} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 1$

Paso 1.4.2.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.5.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$- \frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 (9)} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 1$

Paso 1.4.2.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 \cdot 9} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 1$

Paso 1.4.2.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 1$

Paso 1.4.2.2.1.6

Multiplica $- 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.2.2.1.6.2

Combina $5$ y $\frac{\sqrt{15}}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15}}{3} - 1$

Paso 1.4.2.2.2

Para escribir $\frac{5 \sqrt{15}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 1$

Paso 1.4.2.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.3.1

Multiplica $\frac{5 \sqrt{15}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 1$

Paso 1.4.2.2.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{9} - 1$

Paso 1.4.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} \cdot 3}{9} - 1$

Paso 1.4.2.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.5.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{- 5 \sqrt{15} + 15 \sqrt{15}}{9} - 1$

Paso 1.4.2.2.5.2

Suma $- 5 \sqrt{15}$ y $15 \sqrt{15}$ .

$\frac{10 \sqrt{15}}{9} - 1$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{\sqrt{15}}{3}, - \frac{10 \sqrt{15}}{9} - 1), (- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{10 \sqrt{15}}{9} - 1)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Evalúa en $x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

${(2)}^{3} - 5 \cdot 2 - 1$

Paso 3.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - 5 \cdot 2 - 1$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$8 - 10 - 1$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.1

Resta $10$ de $8$ .

$- 2 - 1$

Paso 3.1.2.2.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$- 3$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

${(4)}^{3} - 5 \cdot 4 - 1$

Paso 3.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$64 - 5 \cdot 4 - 1$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$64 - 20 - 1$

Paso 3.2.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.2.1

Resta $20$ de $64$ .

$44 - 1$

Paso 3.2.2.2.2

Resta $1$ de $44$ .

$43$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(2, - 3), (4, 43)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(4, 43)$

Mínimo absoluto: $(2, - 3)$

Paso 5