Cálculo Ejemplos

$f (x) = 12 x^{\frac{2}{3}} + 8$ , $[- 8, 1]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{\frac{2}{3}} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$12 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$12 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.9

Combina $12$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{12 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.10

Multiplica $2$ por $12$ .

$\frac{24 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{24}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.12

Factoriza $3$ de $24$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.2.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}} + 0$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{8}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 = 0$

Paso 1.2.3

Como $8 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Paso 1.3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{8}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 1.3.2

Establece el denominador en $\frac{8}{\sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Paso 1.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 1.4

Evalúa $12 x^{\frac{2}{3}} + 8$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$12 {(0)}^{\frac{2}{3}} + 8$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$12 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} + 8$

Paso 1.4.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} + 8$

Paso 1.4.1.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.4.1.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$12 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} + 8$

Paso 1.4.1.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$12 \cdot 0^{2} + 8$

Paso 1.4.1.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 \cdot 0 + 8$

Paso 1.4.1.2.1.5

Multiplica $12$ por $0$ .

$0 + 8$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $0$ y $8$ .

$8$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, 8)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 8$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 8$ por $x$ .

$12 {(- 8)}^{\frac{2}{3}} + 8$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$12 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}} + 8$

Paso 2.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})} + 8$

Paso 2.1.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$12 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})} + 8$

Paso 2.1.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$12 {(- 2)}^{2} + 8$

Paso 2.1.2.1.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$12 \cdot 4 + 8$

Paso 2.1.2.1.5

Multiplica $12$ por $4$ .

$48 + 8$

Paso 2.1.2.2

Suma $48$ y $8$ .

$56$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$12 {(1)}^{\frac{2}{3}} + 8$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$12 \cdot 1 + 8$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$12 + 8$

Paso 2.2.2.2

Suma $12$ y $8$ .

$20$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 8, 56), (1, 20)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 8, 56)$

Mínimo absoluto: $(0, 8)$

Paso 4