Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[0, 4 π]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.1.1.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.1.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Paso 1.1.1.2.4

Multiplica $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 1.2.3.3

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$x = π$

Paso 1.2.3.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.3.5

Resuelve $x$

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Paso 1.2.3.5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Paso 1.2.3.5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.2.3.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.5.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.5.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Paso 1.2.3.5.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Paso 1.2.3.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.5.2.2.1

Simplifica $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Paso 1.2.3.5.2.2.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 1.2.3.5.2.2.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 1.2.3.5.2.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 1.2.3.5.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.5.2.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 1.2.3.5.2.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Paso 1.2.3.5.2.2.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = 4 π - π$

Paso 1.2.3.5.2.2.1.6

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = 3 π$

Paso 1.2.3.6

Obtén el período de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Paso 1.2.3.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.3.6.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.3.6.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 1.2.3.6.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 1.2.3.7

El período de la función $\cos (\frac{x}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.4

Consolida las respuestas.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\sin (\frac{x}{2})$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = π$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $π$ por $x$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.4.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$1$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 3 π$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $3 π$ por $x$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.4.2.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 1.4.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(π, 1), (3 π, - 1)$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sin (\frac{0}{2})$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Divide $0$ por $2$ .

$\sin (0)$

Paso 3.1.2.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 4 π$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $4 π$ por $x$ .

$\sin (\frac{4 π}{2})$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $4 π$ .

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2})$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

Paso 3.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

Paso 3.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (\frac{2 π}{1})$

Paso 3.2.2.1.2.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$\sin (2 π)$

Paso 3.2.2.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\sin (0)$

Paso 3.2.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (4 π, 0)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(π, 1)$

Mínimo absoluto: $(3 π, - 1)$

Paso 5