Cálculo Ejemplos

$f (x) = | x |$ , given $- 8 \leq x \leq 7$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

La derivada de $| x |$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x}{| x |} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x}{| x |} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 1.2.3

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{x}{| x |} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{x}{| x |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| x | = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Paso 1.3.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.4

Evalúa $| x |$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$| 0 |$

Paso 1.4.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, 0)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 8$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 8$ por $x$ .

$| - 8 |$

Paso 2.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 8$ y $0$ es $8$ .

$8$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 7$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $7$ por $x$ .

$| 7 |$

Paso 2.2.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $7$ es $7$ .

$7$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 8, 8), (7, 7)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 8, 8)$

Mínimo absoluto: $(0, 0)$

Paso 4