Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ , $[- 2, 1]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.1.1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- x^{- 2} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 1.1.1.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 1.1.1.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 1.1.1.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- x^{- 2} - 2 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 1.1.1.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 1.1.1.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 1.1.1.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 1.1.1.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (- 2 x^{- 3})$

Paso 1.1.1.3.10

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$- x^{- 2} + 4 x^{- 3}$

Paso 1.1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 x^{- 3}$

Paso 1.1.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.1.1.6

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Paso 1.2.2.2

Como $x^{2}, x^{3}, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 1, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $x^{2}, x^{3}$ .

Paso 1.2.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.2.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.2.2.5

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 1.2.2.6

Los factores para $x^{2}$ son $x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocurre $2$ veces.

Paso 1.2.2.7

Los factores para $x^{3}$ son $x \cdot x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $3$ veces.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ ocurre $3$ veces.

Paso 1.2.2.8

El MCM de $x^{2}, x^{3}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x \cdot x$

Paso 1.2.2.9

Simplifica $x \cdot x \cdot x$ .

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Paso 1.2.2.9.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Paso 1.2.2.9.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.9.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.2.2.9.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Paso 1.2.2.9.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 1}$

Paso 1.2.2.9.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$x^{3}$

Paso 1.2.3

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{3} + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 1.2.3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 1.2.3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$- x + \frac{4}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- x + 4 = 0 x^{3}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{3}$ .

$- x + 4 = 0$

Paso 1.2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.4.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 1.2.4.2

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.4.2.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 1.2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.3.3

Establece el denominador en $\frac{4}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 1.3.4

Resuelve $x$

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Paso 1.3.4.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 1.3.4.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 1.3.4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{{(4)}^{2}}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{16}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ y $16$ .

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Paso 1.4.1.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 (1)}{16}$

Paso 1.4.1.2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Paso 1.4.1.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Paso 1.4.1.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Paso 1.4.1.2.2

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

Paso 1.4.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

Paso 1.4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 - 1}{8}$

Paso 1.4.1.2.5

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{1}{0} - \frac{2}{{(0)}^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{0} - \frac{2}{0}$

Paso 1.4.2.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(4, \frac{1}{8})$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ y ${(- 2)}^{2}$ .

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Paso 3.1.2.1.2.1

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.1.2.2

Factoriza $- 2$ de $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 3.1.2.1.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1.2.3.1

Factoriza $- 2$ de ${(- 2)}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.2.1.2.3.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 \cdot - 2}$

Paso 3.1.2.1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} - \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.1.2.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.1.2.2

Combina fracciones.

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Paso 3.1.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 - 1}{2}$

Paso 3.1.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.2.2.2.1

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Paso 3.1.2.2.2.2

Divide $- 2$ por $2$ .

$- 1$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Divide $1$ por $1$ .

$1 - \frac{2}{{(1)}^{2}}$

Paso 3.2.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - \frac{2}{1}$

Paso 3.2.2.1.3

Divide $2$ por $1$ .

$1 - 1 \cdot 2$

Paso 3.2.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1 - 2$

Paso 3.2.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$- 1$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(- 2, - 1), (1, - 1)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 2, - 1), (1, - 1)$

Mínimo absoluto: $(- 2, - 1), (1, - 1)$

Paso 5