Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 5$ , $[0, 4]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $\frac{2}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.2.6.2

Resta $2$ de $5$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.2.7

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.2.8

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.2.9

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.2.10

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.2.11

Cancela el factor común.

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.2.12

Divide $x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- \frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.8

Multiplica $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{4}{3}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.9

Multiplica $4$ por $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.10

Multiplica $2$ por $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.11

Factoriza $6$ de $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.12.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.12.2

Cancela el factor común.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.12.3

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.12.4

Divide $2 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.3.13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.4.3

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.4.4

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.4.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.1.4.5.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.4.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.1.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + 0$

Paso 1.1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.1.6.1

Suma $x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x$ y $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x$

Paso 1.1.1.6.2

Reordena los términos.

$f' (x) = x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Obtén un factor común $x^{\frac{1}{2}}$ que esté presente en cada término.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.3

Sustituye $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(u)}^{2} {(u)}^{3} - 2 u = 0$

Paso 1.2.4

Resuelve $u$

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Paso 1.2.4.1

Multiplica ${(u)}^{2}$ por ${(u)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.4.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u^{2 + 3} - 2 u = 0$

Paso 1.2.4.1.2

Suma $2$ y $3$ .

$u^{5} - 2 u = 0$

Paso 1.2.4.2

Factoriza $u$ de $u^{5} - 2 u$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Factoriza $u$ de $u^{5}$ .

$u \cdot u^{4} - 2 u = 0$

Paso 1.2.4.2.2

Factoriza $u$ de $- 2 u$ .

$u \cdot u^{4} + u \cdot - 2 = 0$

Paso 1.2.4.2.3

Factoriza $u$ de $u \cdot u^{4} + u \cdot - 2$ .

$u (u^{4} - 2) = 0$

Paso 1.2.4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$u^{4} - 2 = 0$

Paso 1.2.4.4

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

Paso 1.2.4.5

Establece $u^{4} - 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 1.2.4.5.1

Establece $u^{4} - 2$ igual a $0$ .

$u^{4} - 2 = 0$

Paso 1.2.4.5.2

Resuelve $u^{4} - 2 = 0$ en $u$ .

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Paso 1.2.4.5.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{4} = 2$

Paso 1.2.4.5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$u = \pm \sqrt[4]{2}$

Paso 1.2.4.5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.4.5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$u = \sqrt[4]{2}$

Paso 1.2.4.5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$u = - \sqrt[4]{2}$

Paso 1.2.4.5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$u = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Paso 1.2.4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $u (u^{4} - 2) = 0$ verdadera.

$u = 0, \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Paso 1.2.5

Sustituye $x$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0, \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Paso 1.2.6

Resuelve para $x^{\frac{1}{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.2.6.2

Simplifica el exponente.

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Paso 1.2.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.6.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.6.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.2.6.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{2}$

Paso 1.2.6.2.1.1.2

Simplifica.

$x = 0^{2}$

Paso 1.2.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.6.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.7

Resuelve para $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{2}$ en $x$ .

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Paso 1.2.7.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Paso 1.2.7.2

Simplifica el exponente.

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Paso 1.2.7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.7.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.7.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.7.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Paso 1.2.7.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.7.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Paso 1.2.7.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Paso 1.2.7.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Paso 1.2.7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.7.2.2.1

Reescribe ${\sqrt[4]{2}}^{2}$ como $\sqrt{2}$ .

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Paso 1.2.7.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{2}$ como $2^{\frac{1}{4}}$ .

$x = {(2^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Paso 1.2.7.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Paso 1.2.7.2.2.1.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$x = 2^{\frac{2}{4}}$

Paso 1.2.7.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.2.7.2.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = 2^{\frac{2 (1)}{4}}$

Paso 1.2.7.2.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.7.2.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.7.2.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$x = 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.7.2.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x = 2^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.7.2.2.1.5

Reescribe $2^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{2}$ .

$x = \sqrt{2}$

Paso 1.2.8

Enumera todas las soluciones.

$x = 0, \sqrt{2}, \sqrt{2}$

Paso 1.2.9

Excluye las soluciones que no hagan que $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.3.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x^{1}}$

Paso 1.3.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x}$

Paso 1.3.2

Establece el radicando en $\sqrt{x^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} < 0$

Paso 1.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x < 0$

Paso 1.3.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 5$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.3

Divide $0$ por $5$ .

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.4.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.4.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.5

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 - \frac{0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.6

Divide $0$ por $3$ .

$0 - 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 + \frac{0}{2} - 5$

Paso 1.4.1.2.1.9

Divide $0$ por $2$ .

$0 + 0 + 0 - 5$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0 - 5$

Paso 1.4.1.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 - 5$

Paso 1.4.1.2.2.3

Resta $5$ de $0$ .

$- 5$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, - 5)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.3

Divide $0$ por $5$ .

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.4.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.4.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.5

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 - \frac{0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.6

Divide $0$ por $3$ .

$0 - 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 + \frac{0}{2} - 5$

Paso 2.1.2.1.9

Divide $0$ por $2$ .

$0 + 0 + 0 - 5$

Paso 2.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0 - 5$

Paso 2.1.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 - 5$

Paso 2.1.2.2.3

Resta $5$ de $0$ .

$- 5$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$\frac{2 {(4)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2^{1 + 5}}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.1.4

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{2^{6}}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$\frac{64}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $4$ por ${(4)}^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.3.1

Multiplica $4$ por ${(4)}^{\frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{64}{5} - \frac{4^{1} {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{64}{5} - \frac{4^{1 + \frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{64}{5} - \frac{4^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{64}{5} - \frac{4^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.3.4

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{64}{5} - \frac{4^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{64}{5} - \frac{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64}{5} - \frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{64}{5} - \frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{64}{5} - \frac{2^{5}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.4.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{64}{5} - \frac{32}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{64}{5} - \frac{32}{3} + \frac{16}{2} - 5$

Paso 2.2.2.1.6

Divide $16$ por $2$ .

$\frac{64}{5} - \frac{32}{3} + 8 - 5$

Paso 2.2.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Multiplica $\frac{64}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + 8 - 5$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $\frac{64}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32}{3} + 8 - 5$

Paso 2.2.2.2.3

Multiplica $\frac{32}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5}) + 8 - 5$

Paso 2.2.2.2.4

Multiplica $\frac{32}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 8 - 5$

Paso 2.2.2.2.5

Escribe $8$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8}{1} - 5$

Paso 2.2.2.2.6

Multiplica $\frac{8}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8}{1} \cdot \frac{15}{15} - 5$

Paso 2.2.2.2.7

Multiplica $\frac{8}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 15}{15} - 5$

Paso 2.2.2.2.8

Escribe $- 5$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 15}{15} + \frac{- 5}{1}$

Paso 2.2.2.2.9

Multiplica $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 15}{15} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Paso 2.2.2.2.10

Multiplica $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 15}{15} + \frac{- 5 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.2.11

Reordena los factores de $5 \cdot 3$ .

$\frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 5} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 15}{15} + \frac{- 5 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.2.12

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{64 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 15}{15} + \frac{- 5 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.2.13

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{64 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{15} + \frac{8 \cdot 15}{15} + \frac{- 5 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{64 \cdot 3 - 32 \cdot 5 + 8 \cdot 15 - 5 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.4.1

Multiplica $64$ por $3$ .

$\frac{192 - 32 \cdot 5 + 8 \cdot 15 - 5 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.4.2

Multiplica $- 32$ por $5$ .

$\frac{192 - 160 + 8 \cdot 15 - 5 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.4.3

Multiplica $8$ por $15$ .

$\frac{192 - 160 + 120 - 5 \cdot 15}{15}$

Paso 2.2.2.4.4

Multiplica $- 5$ por $15$ .

$\frac{192 - 160 + 120 - 75}{15}$

Paso 2.2.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.5.1

Resta $160$ de $192$ .

$\frac{32 + 120 - 75}{15}$

Paso 2.2.2.5.2

Suma $32$ y $120$ .

$\frac{152 - 75}{15}$

Paso 2.2.2.5.3

Resta $75$ de $152$ .

$\frac{77}{15}$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(0, - 5), (4, \frac{77}{15})$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(4, \frac{77}{15})$

Mínimo absoluto: $(0, - 5)$

Paso 4