Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \sin (x) + 5 \cos (x)$ , $0 \leq x \leq 2 π$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 \sin (x) + 5 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 1.1.1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$5 \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$5 \cos (x) + 5 (- \sin (x))$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f' (x) = 5 \cos (x) - 5 \sin (x)$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $5 \cos (x) - 5 \sin (x)$ .

$5 \cos (x) - 5 \sin (x)$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $5 \cos (x) - 5 \sin (x) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$5 \cos (x) - 5 \sin (x) = 0$

Paso 1.2.2

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.3.2

Divide $5$ por $1$ .

$5 + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.4

Separa las fracciones.

$5 + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.5

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$5 + \frac{- 5}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.6

Divide $- 5$ por $1$ .

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 1.2.7

Separa las fracciones.

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 1.2.8

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 1.2.9

Divide $0$ por $1$ .

$5 - 5 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Paso 1.2.10

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$5 - 5 \tan (x) = 0$

Paso 1.2.11

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 \tan (x) = - 5$

Paso 1.2.12

Divide cada término en $- 5 \tan (x) = - 5$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 1.2.12.1

Divide cada término en $- 5 \tan (x) = - 5$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 \tan (x)}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Paso 1.2.12.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.12.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 1.2.12.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 \tan (x)}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Paso 1.2.12.2.1.2

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 5}{- 5}$

Paso 1.2.12.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.12.3.1

Divide $- 5$ por $- 5$ .

$\tan (x) = 1$

Paso 1.2.13

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 1.2.14

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.14.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 1.2.15

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 1.2.16

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 1.2.16.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 1.2.16.2

Combina fracciones.

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Paso 1.2.16.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 1.2.16.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 1.2.16.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.16.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 1.2.16.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 1.2.17

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 1.2.17.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 1.2.17.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 1.2.17.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 1.2.17.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 1.2.18

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $5 \sin (x) + 5 \cos (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$5 \sin (\frac{π}{4}) + 5 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.4.1.2.1.2

Combina $5$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{π}{4})$

Paso 1.4.1.2.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4.1.2.1.4

Combina $5$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4.1.2.2.2

Suma $5 \sqrt{2}$ y $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4.1.2.2.3

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 1.4.1.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2}$

Paso 1.4.1.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 1.4.1.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \sqrt{2}}{1}$

Paso 1.4.1.2.2.3.2.4

Divide $5 \sqrt{2}$ por $1$ .

$5 \sqrt{2}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $\frac{5 π}{4}$ por $x$ .

$5 \sin (\frac{5 π}{4}) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$5 (- \sin (\frac{π}{4})) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 1.4.2.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 1.4.2.2.1.3

Multiplica $5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Paso 1.4.2.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 1.4.2.2.1.3.2

Combina $- 5$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 1.4.2.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 1.4.2.2.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Paso 1.4.2.2.1.6

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 1.4.2.2.1.7

Multiplica $5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Paso 1.4.2.2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} - 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4.2.2.1.7.2

Combina $- 5$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4.2.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4.2.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.2.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 5 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4.2.2.2.2

Resta $5 \sqrt{2}$ de $- 5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 10 \sqrt{2}}{2}$

Paso 1.4.2.2.2.3

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 1.4.2.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 10 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2}$

Paso 1.4.2.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 1.4.2.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{1}$

Paso 1.4.2.2.2.3.2.4

Divide $- 5 \sqrt{2}$ por $1$ .

$- 5 \sqrt{2}$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, 5 \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - 5 \sqrt{2})$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(\frac{π}{4}, 5 \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4}, - 5 \sqrt{2})$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$5 \sin (0) + 5 \cos (0)$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$5 \cdot 0 + 5 \cos (0)$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$0 + 5 \cos (0)$

Paso 3.1.2.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$0 + 5$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $5$ .

$5$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 2 π$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $2 π$ por $x$ .

$5 \sin (2 π) + 5 \cos (2 π)$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$5 \sin (0) + 5 \cos (2 π)$

Paso 3.2.2.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$5 \cdot 0 + 5 \cos (2 π)$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$0 + 5 \cos (2 π)$

Paso 3.2.2.1.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$0 + 5 \cos (0)$

Paso 3.2.2.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Paso 3.2.2.1.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$0 + 5$

Paso 3.2.2.2

Suma $0$ y $5$ .

$5$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 5), (2 π, 5)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{π}{4}, 5 \sqrt{2})$

Mínimo absoluto: $(\frac{5 π}{4}, - 5 \sqrt{2})$

Paso 5