Cálculo Ejemplos

$p = \frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ , $0 \leq x \leq 36$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{12} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{12} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Paso 1.1.1.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Paso 1.1.1.2.4

Combina $\frac{2}{12}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{12} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Paso 1.1.1.2.5

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 1.1.1.2.5.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{12} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Paso 1.1.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Paso 1.1.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Paso 1.1.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{6} - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [108]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{6} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [108]$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$\frac{x}{6} - 6 + \frac{d}{d x} [108]$

Paso 1.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.4.1

Como $108$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $108$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{6} - 6 + 0$

Paso 1.1.1.4.2

Suma $\frac{x}{6} - 6$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{6} - 6$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x}{6} - 6$ .

$\frac{x}{6} - 6$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x}{6} - 6 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x}{6} - 6 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{6} = 6$

Paso 1.2.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $6$ .

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 6$

Paso 1.2.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.1.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.2.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 6$

Paso 1.2.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 6 \cdot 6$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$x = 36$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 36$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $36$ por $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(36)}^{2} - 6 \cdot 36 + 108$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Eleva $36$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1296 - 6 \cdot 36 + 108$

Paso 1.4.1.2.1.2

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 1.4.1.2.1.2.1

Factoriza $12$ de $1296$ .

$\frac{1}{12} \cdot (12 (108)) - 6 \cdot 36 + 108$

Paso 1.4.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 108) - 6 \cdot 36 + 108$

Paso 1.4.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$108 - 6 \cdot 36 + 108$

Paso 1.4.1.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $36$ .

$108 - 216 + 108$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Resta $216$ de $108$ .

$- 108 + 108$

Paso 1.4.1.2.2.2

Suma $- 108$ y $108$ .

$0$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(36, 0)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 108$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 108$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{12}$ por $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 108$

Paso 2.1.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$0 + 0 + 108$

Paso 2.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 108$

Paso 2.1.2.2.2

Suma $0$ y $108$ .

$108$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 36$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $36$ por $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(36)}^{2} - 6 \cdot 36 + 108$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Eleva $36$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1296 - 6 \cdot 36 + 108$

Paso 2.2.2.1.2

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 2.2.2.1.2.1

Factoriza $12$ de $1296$ .

$\frac{1}{12} \cdot (12 (108)) - 6 \cdot 36 + 108$

Paso 2.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 108) - 6 \cdot 36 + 108$

Paso 2.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$108 - 6 \cdot 36 + 108$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $36$ .

$108 - 216 + 108$

Paso 2.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.2.1

Resta $216$ de $108$ .

$- 108 + 108$

Paso 2.2.2.2.2

Suma $- 108$ y $108$ .

$0$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 108), (36, 0)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 108)$

Mínimo absoluto: $(36, 0)$

Paso 4