Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} + 4 x^{3} + 13$ on $- 4$ , $1$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 4 x^{3} + 13$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [13]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Como $13$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $13$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} + 0$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $4 x^{3} + 12 x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 12 x^{2}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} + 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{3} + 12 x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) + 12 x^{2} = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $4 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (3) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (3)$ .

$4 x^{2} (x + 3) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x^{2} (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 3$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x^{4} + 4 x^{3} + 13$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3} + 13$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 4 {(0)}^{3} + 13$

Paso 1.4.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 4 \cdot 0 + 13$

Paso 1.4.1.2.1.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 + 0 + 13$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 13$

Paso 1.4.1.2.2.2

Suma $0$ y $13$ .

$13$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Sustituye $- 3$ por $x$ .

${(- 3)}^{4} + 4 {(- 3)}^{3} + 13$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$81 + 4 {(- 3)}^{3} + 13$

Paso 1.4.2.2.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$81 + 4 \cdot - 27 + 13$

Paso 1.4.2.2.1.3

Multiplica $4$ por $- 27$ .

$81 - 108 + 13$

Paso 1.4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.2.1

Resta $108$ de $81$ .

$- 27 + 13$

Paso 1.4.2.2.2.2

Suma $- 27$ y $13$ .

$- 14$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 13), (- 3, - 14)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Evalúa en $x = - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Sustituye $- 4$ por $x$ .

${(- 4)}^{4} + 4 {(- 4)}^{3} + 13$

Paso 2.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $4$ .

$256 + 4 {(- 4)}^{3} + 13$

Paso 2.1.2.1.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$256 + 4 \cdot - 64 + 13$

Paso 2.1.2.1.3

Multiplica $4$ por $- 64$ .

$256 - 256 + 13$

Paso 2.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.2.1

Resta $256$ de $256$ .

$0 + 13$

Paso 2.1.2.2.2

Suma $0$ y $13$ .

$13$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

${(1)}^{4} + 4 {(1)}^{3} + 13$

Paso 2.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 4 {(1)}^{3} + 13$

Paso 2.2.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 4 \cdot 1 + 13$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$1 + 4 + 13$

Paso 2.2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Suma $1$ y $4$ .

$5 + 13$

Paso 2.2.2.2.2

Suma $5$ y $13$ .

$18$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 4, 13), (1, 18)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, 18)$

Mínimo absoluto: $(- 3, - 14)$

Paso 4