Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ , $[- \frac{1}{2}, 4]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $3 x^{2} - 6 x$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 6 x = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2} - 6 x$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $3 x$ de $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 x (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

Paso 1.4.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 3 \cdot 0 + 1$

Paso 1.4.1.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$0 + 0 + 1$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 1$

Paso 1.4.1.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

Paso 1.4.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 1$

Paso 1.4.2.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$8 - 12 + 1$

Paso 1.4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.4.2.2.2.1

Resta $12$ de $8$ .

$- 4 + 1$

Paso 1.4.2.2.2.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$- 3$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 1), (2, - 3)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- \frac{1}{2}$ por $x$ .

${(- \frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Paso 2.1.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Paso 2.1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Paso 2.1.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Paso 2.1.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{1}{8} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

Paso 2.1.2.1.5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.2.1.5.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1$

Paso 2.1.2.1.5.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

Paso 2.1.2.1.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{8} - 3 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

Paso 2.1.2.1.7

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1$

Paso 2.1.2.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1}{2^{2}} + 1$

Paso 2.1.2.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{8} - 3 (\frac{1}{4}) + 1$

Paso 2.1.2.1.10

Combina $- 3$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{- 3}{4} + 1$

Paso 2.1.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1$

Paso 2.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.1.2.2.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Paso 2.1.2.2.3

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Paso 2.1.2.2.4

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Paso 2.1.2.2.5

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

Paso 2.1.2.2.6

Reordena los factores de $4 \cdot 2$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

Paso 2.1.2.2.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

Paso 2.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 - 3 \cdot 2 + 8}{8}$

Paso 2.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.4.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 1 - 6 + 8}{8}$

Paso 2.1.2.4.2

Resta $6$ de $- 1$ .

$\frac{- 7 + 8}{8}$

Paso 2.1.2.4.3

Suma $- 7$ y $8$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

${(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} + 1$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$64 - 3 {(4)}^{2} + 1$

Paso 2.2.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$64 - 3 \cdot 16 + 1$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $16$ .

$64 - 48 + 1$

Paso 2.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.2.1

Resta $48$ de $64$ .

$16 + 1$

Paso 2.2.2.2.2

Suma $16$ y $1$ .

$17$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{8}), (4, 17)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(4, 17)$

Mínimo absoluto: $(2, - 3)$

Paso 4