Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 4$ y $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.9

Combina fracciones.

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Paso 1.9.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Paso 1.9.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Paso 1.10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Paso 1.10.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Paso 1.10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.10.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Paso 1.10.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}})$

Paso 2.2

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 2$ y $g (x) = x - 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $x + 2$ por $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + 0)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.5.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \cdot 1) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.8.2

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + x - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.8.3

Suma $x$ y $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 2 - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.8.4

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 2.5.8.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.5.8.4.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.6

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.1

Mueve $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 2) (x - 2) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.9

Combina fracciones.

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Paso 2.9.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$

Paso 2.9.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.10.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 4) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.2

Expande $(- 2 x - 4) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.10.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 2) - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.10.2.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.2.1.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.3.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8) x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.3.2

Resta $4 x$ de $4 x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 8) x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.3.3

Suma $- 2 x^{2}$ y $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8) x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 8 x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.10.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.2.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 8 x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 8 x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.2

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{0 + 8 x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.2.3

Suma $0$ y $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{8 x}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.3

Combina los términos.

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Paso 2.10.3.1

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 x^{4}$ .

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 (x^{4})}$

Paso 2.10.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Paso 2.10.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$g'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

Paso 2.10.3.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

Paso 2.10.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.10.3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.10.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Paso 2.10.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Paso 4.1.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.3.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 4.1.9

Combina fracciones.

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Paso 4.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Paso 4.1.9.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Paso 4.1.10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Paso 4.1.10.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Paso 4.1.10.2.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Paso 4.1.10.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.10.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Paso 4.1.10.3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 5.3.2

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 5.3.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 5.3.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.3.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$4 x^{2} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $4 x^{2} = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.2.1.1

Divide cada término en $4 x^{2} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 6.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 6.2.1.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Paso 6.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x^{2} = 0$

Paso 6.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.2.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.2.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 2, 2$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $2$ y ${(- 2)}^{3}$ .

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Paso 9.1.1

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{3}}$

Paso 9.1.2

Factoriza $- 2$ de $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Paso 9.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.3.1

Factoriza $- 2$ de ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Paso 9.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Paso 9.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 1}{4}$

Paso 9.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 10

$x = - 2$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 2$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = - 2$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$g (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} + 4}{4 (- 2)}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$g (- 2) = \frac{4 + 4}{4 (- 2)}$

Paso 11.2.1.2

Suma $4$ y $4$ .

$g (- 2) = \frac{8}{4 (- 2)}$

Paso 11.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.2.1

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$g (- 2) = \frac{8}{- 8}$

Paso 11.2.2.2

Divide $8$ por $- 8$ .

$g (- 2) = - 1$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2}{{(2)}^{3}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Cancela el factor común de $2$ y ${(2)}^{3}$ .

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Paso 13.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Paso 13.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1.2.1

Factoriza $2$ de ${(2)}^{3}$ .

$\frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Paso 13.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Paso 13.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2^{2}}$

Paso 13.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 14

$x = 2$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 2$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 2$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$g (2) = \frac{{(2)}^{2} + 4}{4 (2)}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$g (2) = \frac{4 + 4}{4 (2)}$

Paso 15.2.1.2

Suma $4$ y $4$ .

$g (2) = \frac{8}{4 (2)}$

Paso 15.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 15.2.2.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$g (2) = \frac{8}{8}$

Paso 15.2.2.2

Divide $8$ por $8$ .

$g (2) = 1$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $1$ .

$y = 1$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$ .

$(- 2, - 1)$ es un máximo local

$(2, 1)$ es un mínimo local

Paso 17