Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x + \frac{π}{4})$ , $0 \leq x \leq \frac{7 π}{4}$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + \frac{π}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Paso 1.1.1.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Paso 1.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + \frac{π}{4}$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{π}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Paso 1.1.1.2.3

Como $\frac{π}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π}{4}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Paso 1.1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Paso 1.1.1.2.4.2

Multiplica $\cos (x + \frac{π}{4})$ por $1$ .

$f' (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

$\cos (x + \frac{π}{4})$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\cos (x + \frac{π}{4}) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{4}) = 0$

Paso 1.2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x + \frac{π}{4} = \arccos (0)$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Paso 1.2.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.2.4.1

Resta $\frac{π}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.4.2

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.4.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.4.3.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.4.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Paso 1.2.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{4}$

Paso 1.2.4.5.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 1.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x + \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.6

Resuelve $x$

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Paso 1.2.6.1

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 1.2.6.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.6.1.2

Combina fracciones.

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Paso 1.2.6.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.6.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 1.2.6.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 1.2.6.1.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.2.6.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.2.6.2.1

Resta $\frac{π}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.6.2.2

Para escribir $\frac{3 π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.6.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.6.2.3.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 1.2.6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{3 π \cdot 2 - π}{4}$

Paso 1.2.6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.2.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{6 π - π}{4}$

Paso 1.2.6.2.5.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 1.2.7

Obtén el período de $\cos (x + \frac{π}{4})$ .

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Paso 1.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.2.8

El período de la función $\cos (x + \frac{π}{4})$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\sin (x + \frac{π}{4})$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\sin ((\frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sin (\frac{π + π}{4})$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $π$ y $π$ .

$\sin (\frac{2 π}{4})$

Paso 1.4.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\sin (\frac{2 (π)}{4})$

Paso 1.4.1.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Paso 1.4.1.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Paso 1.4.1.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.4.1.2.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$1$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $\frac{5 π}{4}$ por $x$ .

$\sin ((\frac{5 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sin (\frac{5 π + π}{4})$

Paso 1.4.2.2.2

Suma $5 π$ y $π$ .

$\sin (\frac{6 π}{4})$

Paso 1.4.2.2.3

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 1.4.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $6 π$ .

$\sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Paso 1.4.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Paso 1.4.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Paso 1.4.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Paso 1.4.2.2.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Paso 1.4.2.2.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 1.4.2.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, 1), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - 1)$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(\frac{π}{4}, 1), (\frac{5 π}{4}, - 1)$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sin ((0) + \frac{π}{4})$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Suma $0$ y $\frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{4})$

Paso 3.1.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.2

Evalúa en $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $\frac{7 π}{4}$ por $x$ .

$\sin ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sin (\frac{7 π + π}{4})$

Paso 3.2.2.2

Suma $7 π$ y $π$ .

$\sin (\frac{8 π}{4})$

Paso 3.2.2.3

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 3.2.2.3.1

Factoriza $4$ de $8 π$ .

$\sin (\frac{4 (2 π)}{4})$

Paso 3.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\sin (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Paso 3.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Paso 3.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (\frac{2 π}{1})$

Paso 3.2.2.3.2.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$\sin (2 π)$

Paso 3.2.2.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\sin (0)$

Paso 3.2.2.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{7 π}{4}, 0)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{π}{4}, 1)$

Mínimo absoluto: $(\frac{5 π}{4}, - 1)$

Paso 5