Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{8 x^{2}}{x - 2}$ , $[- 2, 1]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{8 x^{2}}{x - 2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 2$ .

$8 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 \frac{(x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 2$ .

$8 \frac{2 \cdot (x - 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.6

Combina fracciones.

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Paso 1.1.1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.3.6.3

Combina $8$ y $\frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{8 (2 (x - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 ((2 x + 2 \cdot - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (2 x \cdot x) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.4.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{8 (2 (x \cdot x)) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{8 (2 x^{2}) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.4.1.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{16 x^{2} + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{16 x^{2} + 8 (- 4 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.4.1.4

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$\frac{16 x^{2} - 32 x + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{16 x^{2} - 32 x - 8 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.4.2

Resta $8 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} - 32 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.5

Factoriza $8 x$ de $8 x^{2} - 32 x$ .

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Paso 1.1.1.4.5.1

Factoriza $8 x$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{8 x (x) - 32 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.5.2

Factoriza $8 x$ de $- 32 x$ .

$\frac{8 x (x) + 8 x (- 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.1.4.5.3

Factoriza $8 x$ de $8 x (x) + 8 x (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 x (x - 4) = 0$

Paso 1.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 1.2.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.3.3

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.3.3.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 1.2.3.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 1.2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $8 x (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 4$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.3.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{8 x^{2}}{x - 2}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{8 {(0)}^{2}}{(0) - 2}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Cancela el factor común de $8$ y $(0) - 2$ .

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Paso 1.4.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $8 {(0)}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{(0) - 2}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 (0) - 2}$

Paso 1.4.1.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}$

Paso 1.4.1.2.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

Paso 1.4.1.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

Paso 1.4.1.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{4 {(0)}^{2}}{0 - 1}$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{0 - 1}$

Paso 1.4.1.2.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{- 1}$

Paso 1.4.1.2.2.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{- 1}$

Paso 1.4.1.2.2.4

Divide $0$ por $- 1$ .

$0$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$\frac{8 {(4)}^{2}}{(4) - 2}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ y $(4) - 2$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $8 {(4)}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{(4) - 2}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 (2) - 2}$

Paso 1.4.2.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}$

Paso 1.4.2.2.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

Paso 1.4.2.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

Paso 1.4.2.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{4 {(4)}^{2}}{2 - 1}$

Paso 1.4.2.2.2

Multiplica $4$ por ${(4)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.2.2.2.1

Multiplica $4$ por ${(4)}^{2}$ .

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Paso 1.4.2.2.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4^{1} {(4)}^{2}}{2 - 1}$

Paso 1.4.2.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4^{1 + 2}}{2 - 1}$

Paso 1.4.2.2.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4^{3}}{2 - 1}$

Paso 1.4.2.2.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{64}{2 - 1}$

Paso 1.4.2.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{64}{1}$

Paso 1.4.2.2.5

Divide $64$ por $1$ .

$64$

Paso 1.4.3

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 1.4.3.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{8 {(2)}^{2}}{(2) - 2}$

Paso 1.4.3.2

Simplifica.

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Paso 1.4.3.2.1

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{8 {(2)}^{2}}{0}$

Paso 1.4.3.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (4, 64)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(0, 0)$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$\frac{8 {(- 2)}^{2}}{(- 2) - 2}$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $8$ y $(- 2) - 2$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Factoriza $2$ de $8 {(- 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{(- 2) - 2}$

Paso 3.1.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 (- 1) - 2}$

Paso 3.1.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1}$

Paso 3.1.2.1.2.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

Paso 3.1.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

Paso 3.1.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{4 {(- 2)}^{2}}{- 1 - 1}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 \cdot 4}{- 1 - 1}$

Paso 3.1.2.2.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$\frac{4 \cdot 4}{- 2}$

Paso 3.1.2.2.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{16}{- 2}$

Paso 3.1.2.2.4

Divide $16$ por $- 2$ .

$- 8$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{8 {(1)}^{2}}{(1) - 2}$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{8 \cdot 1}{1 - 2}$

Paso 3.2.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{8 \cdot 1}{- 1}$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{8}{- 1}$

Paso 3.2.2.4

Divide $8$ por $- 1$ .

$- 8$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(- 2, - 8), (1, - 8)$

Paso 4

Compara los valores de $g (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $g (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $g (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 0)$

Mínimo absoluto: $(- 2, - 8), (1, - 8)$

Paso 5