Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + \frac{320}{x}$ ; $(0, \infty)$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + \frac{320}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $320$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{320}{x}$ con respecto a $x$ es $320 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 320 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x + 320 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 x + 320 (- x^{- 2})$

Paso 1.1.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $320$ .

$2 x - 320 x^{- 2}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 320 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Combina $- 320$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 320}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 2 x - \frac{320}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - \frac{320}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{320}{x^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - \frac{320}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - \frac{320}{x^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{2}, 1$

Paso 1.2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 1.2.3

Multiplica cada término en $2 x - \frac{320}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica cada término en $2 x - \frac{320}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.3.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2 + 1} - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{3} - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{320}{x^{2}}$ al numerador.

$2 x^{3} + \frac{- 320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{3} + \frac{- 320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{3} - 320 = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 320 = 0$

Paso 1.2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.4.1

Suma $320$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} = 320$

Paso 1.2.4.2

Resta $320$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} - 320 = 0$

Paso 1.2.4.3

Factoriza $2$ de $2 x^{3} - 320$ .

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Paso 1.2.4.3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 320 = 0$

Paso 1.2.4.3.2

Factoriza $2$ de $- 320$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 160 = 0$

Paso 1.2.4.3.3

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 2 \cdot - 160$ .

$2 (x^{3} - 160) = 0$

Paso 1.2.4.4

Divide cada término en $2 (x^{3} - 160) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.4.4.1

Divide cada término en $2 (x^{3} - 160) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 160)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{3} - 160)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.4.4.2.1.2

Divide $x^{3} - 160$ por $1$ .

$x^{3} - 160 = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.4.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x^{3} - 160 = 0$

Paso 1.2.4.5

Suma $160$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 160$

Paso 1.2.4.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{160}$

Paso 1.2.4.7

Simplifica $\sqrt[3]{160}$ .

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Paso 1.2.4.7.1

Reescribe $160$ como $2^{3} \cdot 20$ .

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Paso 1.2.4.7.1.1

Factoriza $8$ de $160$ .

$x = \sqrt[3]{8 (20)}$

Paso 1.2.4.7.1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 20}$

Paso 1.2.4.7.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = 2 \sqrt[3]{20}$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{320}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.4

Evalúa $x^{2} + \frac{320}{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 2 \sqrt[3]{20}$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $2 \sqrt[3]{20}$ por $x$ .

${(2 \sqrt[3]{20})}^{2} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt[3]{20}$ .

$2^{2} {\sqrt[3]{20}}^{2} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {\sqrt[3]{20}}^{2} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Paso 1.4.1.2.1.3

Reescribe ${\sqrt[3]{20}}^{2}$ como $\sqrt[3]{20^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{20^{2}} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Paso 1.4.1.2.1.4

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$4 \sqrt[3]{400} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Paso 1.4.1.2.1.5

Reescribe $400$ como $2^{3} \cdot 50$ .

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Paso 1.4.1.2.1.5.1

Factoriza $8$ de $400$ .

$4 \sqrt[3]{8 (50)} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Paso 1.4.1.2.1.5.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$4 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 50} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Paso 1.4.1.2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$4 (2 \sqrt[3]{50}) + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Paso 1.4.1.2.1.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Paso 1.4.1.2.1.8

Cancela el factor común de $320$ y $2$ .

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Paso 1.4.1.2.1.8.1

Factoriza $2$ de $320$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{2 \cdot 160}{2 \sqrt[3]{20}}$

Paso 1.4.1.2.1.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.1.8.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{20}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{2 \cdot 160}{2 (\sqrt[3]{20})}$

Paso 1.4.1.2.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{2 \cdot 160}{2 \sqrt[3]{20}}$

Paso 1.4.1.2.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160}{\sqrt[3]{20}}$

Paso 1.4.1.2.1.9

Multiplica $\frac{160}{\sqrt[3]{20}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{2}}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160}{\sqrt[3]{20}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.4.1.2.1.10.1

Multiplica $\frac{160}{\sqrt[3]{20}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{2}}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{\sqrt[3]{20} {\sqrt[3]{20}}^{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.10.2

Eleva $\sqrt[3]{20}$ a la potencia de $1$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{1} {\sqrt[3]{20}}^{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{1 + 2}}$

Paso 1.4.1.2.1.10.4

Suma $1$ y $2$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{3}}$

Paso 1.4.1.2.1.10.5

Reescribe ${\sqrt[3]{20}}^{3}$ como $20$ .

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Paso 1.4.1.2.1.10.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{20}$ como $20^{\frac{1}{3}}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{{(20^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 1.4.1.2.1.10.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 1.4.1.2.1.10.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20^{\frac{3}{3}}}$

Paso 1.4.1.2.1.10.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.4.1.2.1.10.5.4.1

Cancela el factor común.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20^{\frac{3}{3}}}$

Paso 1.4.1.2.1.10.5.4.2

Reescribe la expresión.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20^{1}}$

Paso 1.4.1.2.1.10.5.5

Evalúa el exponente.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20}$

Paso 1.4.1.2.1.11

Cancela el factor común de $160$ y $20$ .

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Paso 1.4.1.2.1.11.1

Factoriza $20$ de $160 {\sqrt[3]{20}}^{2}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{20 (8 {\sqrt[3]{20}}^{2})}{20}$

Paso 1.4.1.2.1.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.1.11.2.1

Factoriza $20$ de $20$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{20 (8 {\sqrt[3]{20}}^{2})}{20 (1)}$

Paso 1.4.1.2.1.11.2.2

Cancela el factor común.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{20 (8 {\sqrt[3]{20}}^{2})}{20 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.2.1.11.2.3

Reescribe la expresión.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{8 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{1}$

Paso 1.4.1.2.1.11.2.4

Divide $8 {\sqrt[3]{20}}^{2}$ por $1$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 {\sqrt[3]{20}}^{2}$

Paso 1.4.1.2.1.12

Reescribe ${\sqrt[3]{20}}^{2}$ como $\sqrt[3]{20^{2}}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 \sqrt[3]{20^{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.13

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 \sqrt[3]{400}$

Paso 1.4.1.2.1.14

Reescribe $400$ como $2^{3} \cdot 50$ .

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Paso 1.4.1.2.1.14.1

Factoriza $8$ de $400$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 \sqrt[3]{8 (50)}$

Paso 1.4.1.2.1.14.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 50}$

Paso 1.4.1.2.1.15

Retira los términos de abajo del radical.

$8 \sqrt[3]{50} + 8 (2 \sqrt[3]{50})$

Paso 1.4.1.2.1.16

Multiplica $2$ por $8$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 16 \sqrt[3]{50}$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $8 \sqrt[3]{50}$ y $16 \sqrt[3]{50}$ .

$24 \sqrt[3]{50}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} + \frac{320}{0}$

Paso 1.4.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(2 \sqrt[3]{20}, 24 \sqrt[3]{50})$

Paso 2

Usa la prueba de la primera derivada para determinar qué puntos pueden ser máximos o mínimos.

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Paso 2.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 2 \sqrt[3]{20}) \cup (2 \sqrt[3]{20}, \infty)$

Paso 2.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 2 \sqrt[3]{20})$ en la primera derivada $2 x - \frac{320}{x^{2}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 2.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{320}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{320}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 2.2.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{320}{4}$

Paso 2.2.2.1.3

Divide $320$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 4 - 1 \cdot 80$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $80$ .

$f' (- 2) = - 4 - 80$

Paso 2.2.2.2

Resta $80$ de $- 4$ .

$f' (- 2) = - 84$

Paso 2.2.2.3

La respuesta final es $- 84$ .

$- 84$

Paso 2.3

Sustituye cualquier número, como $8$ , del intervalo $(2 \sqrt[3]{20}, \infty)$ en la primera derivada $2 x - \frac{320}{x^{2}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 2.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f' (8) = 2 (8) - \frac{320}{{(8)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$f' (8) = 16 - \frac{320}{{(8)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f' (8) = 16 - \frac{320}{64}$

Paso 2.3.2.1.3

Divide $320$ por $64$ .

$f' (8) = 16 - 1 \cdot 5$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f' (8) = 16 - 5$

Paso 2.3.2.2

Resta $5$ de $16$ .

$f' (8) = 11$

Paso 2.3.2.3

La respuesta final es $11$ .

$11$

Paso 2.4

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 2 \sqrt[3]{20}$ , $x = 2 \sqrt[3]{20}$ es un mínimo local.

$x = 2 \sqrt[3]{20}$ es un mínimo local

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Sin máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(2 \sqrt[3]{20}, 24 \sqrt[3]{50})$

Paso 4