Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ ; $(0, \infty)$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 + 0$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $3 x^{2} + 2 x - 5$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} + 2 x - 5$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 5 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Reescribe $2$ como $- 3$ más $5$

$3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5 = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5 = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x + 5) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x + 5 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.2.5

Establece $3 x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $3 x + 5$ igual a $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $3 x + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 5$

Paso 1.2.5.2.2

Divide cada término en $3 x = - 5$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Paso 1.2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Paso 1.2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Paso 1.2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{3}$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (3 x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 1, - \frac{5}{3}$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

${(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 8$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 8$

Paso 1.4.1.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 1 - 5 \cdot 1 + 8$

Paso 1.4.1.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$1 + 1 - 5 + 8$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Suma $1$ y $1$ .

$2 - 5 + 8$

Paso 1.4.1.2.2.2

Resta $5$ de $2$ .

$- 3 + 8$

Paso 1.4.1.2.2.3

Suma $- 3$ y $8$ .

$5$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = - \frac{5}{3}$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $- \frac{5}{3}$ por $x$ .

${(- \frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 1.4.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Paso 1.4.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Paso 1.4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Paso 1.4.2.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{125}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Paso 1.4.2.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{125}{27} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Paso 1.4.2.2.1.5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 1.4.2.2.1.5.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Paso 1.4.2.2.1.5.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Paso 1.4.2.2.1.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{125}{27} + 1 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Paso 1.4.2.2.1.7

Multiplica $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Paso 1.4.2.2.1.8

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Paso 1.4.2.2.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Paso 1.4.2.2.1.10

Multiplica $- 5 (- \frac{5}{3})$ .

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Paso 1.4.2.2.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + 5 (\frac{5}{3}) + 8$

Paso 1.4.2.2.1.10.2

Combina $5$ y $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5 \cdot 5}{3} + 8$

Paso 1.4.2.2.1.10.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} + 8$

Paso 1.4.2.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 1.4.2.2.2.1

Multiplica $\frac{25}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3} + 8$

Paso 1.4.2.2.2.2

Multiplica $\frac{25}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} + 8$

Paso 1.4.2.2.2.3

Multiplica $\frac{25}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} \cdot \frac{9}{9} + 8$

Paso 1.4.2.2.2.4

Multiplica $\frac{25}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 8$

Paso 1.4.2.2.2.5

Escribe $8$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8}{1}$

Paso 1.4.2.2.2.6

Multiplica $\frac{8}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 1.4.2.2.2.7

Multiplica $\frac{8}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.2.2.2.8

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.2.2.2.9

Multiplica $3$ por $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.2.2.2.10

Multiplica $3$ por $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 125 + 25 \cdot 3 + 25 \cdot 9 + 8 \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.4.1

Multiplica $25$ por $3$ .

$\frac{- 125 + 75 + 25 \cdot 9 + 8 \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.2.2.4.2

Multiplica $25$ por $9$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 + 8 \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.2.2.4.3

Multiplica $8$ por $27$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 + 216}{27}$

Paso 1.4.2.2.5

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 1.4.2.2.5.1

Suma $- 125$ y $75$ .

$\frac{- 50 + 225 + 216}{27}$

Paso 1.4.2.2.5.2

Suma $- 50$ y $225$ .

$\frac{175 + 216}{27}$

Paso 1.4.2.2.5.3

Suma $175$ y $216$ .

$\frac{391}{27}$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(1, 5), (- \frac{5}{3}, \frac{391}{27})$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(1, 5)$

Paso 3

Usa la prueba de la primera derivada para determinar qué puntos pueden ser máximos o mínimos.

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Paso 3.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{5}{3}) \cup (- \frac{5}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 3.2

Sustituye cualquier número, como $- 4$ , del intervalo $(- \infty, - \frac{5}{3})$ en la primera derivada $3 x^{2} + 2 x - 5$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 5$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 + 2 (- 4) - 5$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f' (- 4) = 48 + 2 (- 4) - 5$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = 48 - 8 - 5$

Paso 3.2.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 3.2.2.2.1

Resta $8$ de $48$ .

$f' (- 4) = 40 - 5$

Paso 3.2.2.2.2

Resta $5$ de $40$ .

$f' (- 4) = 35$

Paso 3.2.2.3

La respuesta final es $35$ .

$35$

Paso 3.3

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \frac{5}{3}, 1)$ en la primera derivada $3 x^{2} + 2 x - 5$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 5$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 + 2 (0) - 5$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 (0) - 5$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 5$

Paso 3.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.3.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f' (0) = 0 - 5$

Paso 3.3.2.2.2

Resta $5$ de $0$ .

$f' (0) = - 5$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $- 5$ .

$- 5$

Paso 3.4

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(1, \infty)$ en la primera derivada $3 x^{2} + 2 x - 5$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 3.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} + 2 (4) - 5$

Paso 3.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 + 2 (4) - 5$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f' (4) = 48 + 2 (4) - 5$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$f' (4) = 48 + 8 - 5$

Paso 3.4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.4.2.2.1

Suma $48$ y $8$ .

$f' (4) = 56 - 5$

Paso 3.4.2.2.2

Resta $5$ de $56$ .

$f' (4) = 51$

Paso 3.4.2.3

La respuesta final es $51$ .

$51$

Paso 3.5

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = - \frac{5}{3}$ , $x = - \frac{5}{3}$ es un máximo local.

$x = - \frac{5}{3}$ es un máximo local

Paso 3.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 1$ , $x = 1$ es un mínimo local.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 3.7

Estos son los extremos locales de $f (x) = x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ .

$x = - \frac{5}{3}$ es un máximo local

$x = 1$ es un mínimo local

$x = - \frac{5}{3}$ es un máximo local

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Sin máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(1, 5)$

Paso 5