Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (x) - x$ , $[\frac{π}{2}, 2 π]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (x) - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \sin (x) - 1$

Paso 1.1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 1 - \sin (x)$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 1 - \sin (x)$ .

$- 1 - \sin (x)$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 1 - \sin (x) = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 1 - \sin (x) = 0$

Paso 1.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- \sin (x) = 1$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $- \sin (x) = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $- \sin (x) = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Paso 1.2.4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 1.2.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.6

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 1.2.7

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 1.2.7.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 1.2.7.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.2.8

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 1.2.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.8.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.2.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.2.8.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.2.9

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 1.2.9.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 1.2.9.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.9.3

Combina fracciones.

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Paso 1.2.9.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.9.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 1.2.9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.9.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 1.2.9.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 1.2.9.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.2.10

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.11

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $\cos (x) - x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{3 π}{2})$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{3 π}{2})$

Paso 1.4.1.2.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$0 - \frac{3 π}{2}$

Paso 1.4.1.2.2

Resta $\frac{3 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{3 π}{2}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = \frac{7 π}{2}$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $\frac{7 π}{2}$ por $x$ .

$\cos (\frac{7 π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Paso 1.4.2.2.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Paso 1.4.2.2.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$0 - \frac{7 π}{2}$

Paso 1.4.2.2.2

Resta $\frac{7 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{7 π}{2}$

Paso 1.4.3

Evalúa en $x = \frac{11 π}{2}$ .

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Paso 1.4.3.1

Sustituye $\frac{11 π}{2}$ por $x$ .

$\cos (\frac{11 π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Paso 1.4.3.2

Simplifica.

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Paso 1.4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.3.2.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Paso 1.4.3.2.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Paso 1.4.3.2.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$0 - \frac{11 π}{2}$

Paso 1.4.3.2.2

Resta $\frac{11 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{11 π}{2}$

Paso 1.4.4

Evalúa en $x = \frac{15 π}{2}$ .

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Paso 1.4.4.1

Sustituye $\frac{15 π}{2}$ por $x$ .

$\cos (\frac{15 π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Paso 1.4.4.2

Simplifica.

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Paso 1.4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.4.2.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Paso 1.4.4.2.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Paso 1.4.4.2.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$0 - \frac{15 π}{2}$

Paso 1.4.4.2.2

Resta $\frac{15 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{15 π}{2}$

Paso 1.4.5

Evalúa en $x = \frac{19 π}{2}$ .

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Paso 1.4.5.1

Sustituye $\frac{19 π}{2}$ por $x$ .

$\cos (\frac{19 π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Paso 1.4.5.2

Simplifica.

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Paso 1.4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.5.2.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Paso 1.4.5.2.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Paso 1.4.5.2.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$0 - \frac{19 π}{2}$

Paso 1.4.5.2.2

Resta $\frac{19 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{19 π}{2}$

Paso 1.4.6

Enumera todos los puntos.

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2}), (\frac{7 π}{2}, - \frac{7 π}{2}), (\frac{11 π}{2}, - \frac{11 π}{2}), (\frac{15 π}{2}, - \frac{15 π}{2}), (\frac{19 π}{2}, - \frac{19 π}{2})$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{π}{2})$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$0 - \frac{π}{2}$

Paso 3.1.2.2

Resta $\frac{π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 2 π$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $2 π$ por $x$ .

$\cos (2 π) - (2 π)$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (0) - (2 π)$

Paso 3.2.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1 - (2 π)$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 - 2 π$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2}), (2 π, 1 - 2 π)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2})$

Mínimo absoluto: $(2 π, 1 - 2 π)$

Paso 5