Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ on interval $[- 2, - 1]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.1.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4

Diferencia.

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Paso 1.1.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.4.5.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.5.2.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.5.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.5.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.5.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.1.5.2.1.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.7

Simplifica.

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Paso 1.1.1.5.2.1.7.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.5.2.1.7.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.7.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.5.2.1.7.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.7.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.7.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.5.2.1.7.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.8

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.5.2.1.8.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.8.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.5.2.1.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.8.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.5.2.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.2.2

Suma $- 4 x^{2} + 2 x$ y $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.2.3

Suma $- 4 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{2} + 2 x$ .

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Paso 1.1.1.5.3.1

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3.2

Factoriza $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.3.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.4

Cancela el factor común de $- x + 1$ y ${(x - 1)}^{4}$ .

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Paso 1.1.1.5.4.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.4.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.4.4

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.4.5

Factoriza $x - 1$ de $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Paso 1.1.1.5.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.5.4.6.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.1.5.4.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.1.5.4.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.1.5.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.1.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x = 0$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.3.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{((0) - 1)}^{2}}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{{(0 - 1)}^{2}}$

Paso 1.4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.4.1.2.2.1

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 1.4.1.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 1.4.1.2.3

Divide $0$ por $1$ .

$0$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{((1) - 1)}^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0^{2}}$

Paso 1.4.2.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0}$

Paso 1.4.2.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 0)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

Paso 3

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Sin máximo absoluto

Sin mínimo absoluto

Paso 5