Cálculo Ejemplos

$g (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $- 1 \leq x \leq 0$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.7.3

Mueve ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.1.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.1.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.1.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.1.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Paso 1.1.1.13

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.1.13.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Paso 1.1.1.13.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 1.1.1.13.3

Combina $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.13.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.14.1

Factoriza $2$ de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.1.1.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $g (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- \frac{x}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}}}$

Paso 1.3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Paso 1.3.2

Establece el denominador en $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

Paso 1.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Simplifica ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Simplifica.

$1 - x^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$1 - x^{2} = 0$

Paso 1.3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 1$

Paso 1.3.3.3.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.3.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Paso 1.3.3.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 1.3.3.3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 1.3.3.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.3.3.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 1.3.3.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 1.3.3.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 1.3.4

Establece el radicando en $\sqrt{1 - x^{2}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 - x^{2} < 0$

Paso 1.3.5

Resuelve $x$

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Paso 1.3.5.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} < - 1$

Paso 1.3.5.2

Divide cada término en $- x^{2} < - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.3.5.2.1

Divide cada término de $- x^{2} < - 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.5.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} > \frac{- 1}{- 1}$

Paso 1.3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.5.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} > 1$

Paso 1.3.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

Paso 1.3.5.4

Simplifica la ecuación.

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Paso 1.3.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.5.4.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | > \sqrt{1}$

Paso 1.3.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.5.4.2.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| x | > 1$

Paso 1.3.5.5

Escribe $| x | > 1$ como una función definida por partes.

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Paso 1.3.5.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 1.3.5.5.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x > 1$

Paso 1.3.5.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 1.3.5.5.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x > 1$

Paso 1.3.5.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

Paso 1.3.5.6

Obtén la intersección de $x > 1$ y $x \geq 0$ .

$x > 1$

Paso 1.3.5.7

Divide cada término en $- x > 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.3.5.7.1

Divide cada término de $- x > 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Paso 1.3.5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.5.7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

Paso 1.3.5.7.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

Paso 1.3.5.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.5.7.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$x < - 1$

Paso 1.3.5.8

Obtén la unión de las soluciones.

$x < - 1$ o $x > 1$

Paso 1.3.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Paso 1.4

Evalúa $\sqrt{1 - x^{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sqrt{1 - {(0)}^{2}}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt{1 - 0}$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\sqrt{1 + 0}$

Paso 1.4.1.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$\sqrt{1}$

Paso 1.4.1.2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$1$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\sqrt{1 - {(- 1)}^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Paso 1.4.2.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{3}}$

Paso 1.4.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Paso 1.4.2.2.3

Resta $1$ de $1$ .

$\sqrt{0}$

Paso 1.4.2.2.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Paso 1.4.2.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0$

Paso 1.4.3

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 1.4.3.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\sqrt{1 - {(1)}^{2}}$

Paso 1.4.3.2

Simplifica.

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Paso 1.4.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Paso 1.4.3.2.3

Resta $1$ de $1$ .

$\sqrt{0}$

Paso 1.4.3.2.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Paso 1.4.3.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0$

Paso 1.4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(0, 1), (- 1, 0)$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\sqrt{1 - {(- 1)}^{2}}$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Paso 3.1.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Paso 3.1.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{3}}$

Paso 3.1.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Paso 3.1.2.3

Resta $1$ de $1$ .

$\sqrt{0}$

Paso 3.1.2.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Paso 3.1.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sqrt{1 - {(0)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\sqrt{1 - 0}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\sqrt{1 + 0}$

Paso 3.2.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$\sqrt{1}$

Paso 3.2.2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$1$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(- 1, 0), (0, 1)$

Paso 4

Compara los valores de $g (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $g (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $g (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 1)$

Mínimo absoluto: $(- 1, 0)$

Paso 5