Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + \frac{240}{x}$ ; $(0, \infty)$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + \frac{240}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $240$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{240}{x}$ con respecto a $x$ es $240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.1.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 x + 240 (- x^{- 2})$

Paso 1.1.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $240$ .

$2 x - 240 x^{- 2}$

Paso 1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 240 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Combina $- 240$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 240}{x^{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 2 x - \frac{240}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{240}{x^{2}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$

Paso 1.2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{2}, 1$

Paso 1.2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 1.2.3

Multiplica cada término en $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica cada término en $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.3.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2 + 1} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 x^{3} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{240}{x^{2}}$ al numerador.

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{3} - 240 = 0 x^{2}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 240 = 0$

Paso 1.2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.4.1

Suma $240$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} = 240$

Paso 1.2.4.2

Resta $240$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} - 240 = 0$

Paso 1.2.4.3

Factoriza $2$ de $2 x^{3} - 240$ .

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Paso 1.2.4.3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 240 = 0$

Paso 1.2.4.3.2

Factoriza $2$ de $- 240$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 120 = 0$

Paso 1.2.4.3.3

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 2 \cdot - 120$ .

$2 (x^{3} - 120) = 0$

Paso 1.2.4.4

Divide cada término en $2 (x^{3} - 120) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.4.4.1

Divide cada término en $2 (x^{3} - 120) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.4.4.2.1.2

Divide $x^{3} - 120$ por $1$ .

$x^{3} - 120 = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.4.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x^{3} - 120 = 0$

Paso 1.2.4.5

Suma $120$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = 120$

Paso 1.2.4.6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{120}$

Paso 1.2.4.7

Simplifica $\sqrt[3]{120}$ .

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Paso 1.2.4.7.1

Reescribe $120$ como $2^{3} \cdot 15$ .

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Paso 1.2.4.7.1.1

Factoriza $8$ de $120$ .

$x = \sqrt[3]{8 (15)}$

Paso 1.2.4.7.1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 15}$

Paso 1.2.4.7.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = 2 \sqrt[3]{15}$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Establece el denominador en $\frac{240}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 1.3.2

Resuelve $x$

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Paso 1.3.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.4

Evalúa $x^{2} + \frac{240}{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 2 \sqrt[3]{15}$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $2 \sqrt[3]{15}$ por $x$ .

${(2 \sqrt[3]{15})}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt[3]{15}$ .

$2^{2} {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Paso 1.4.1.2.1.3

Reescribe ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ como $\sqrt[3]{15^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{15^{2}} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Paso 1.4.1.2.1.4

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Paso 1.4.1.2.1.5

Cancela el factor común de $240$ y $2$ .

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Paso 1.4.1.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $240$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

Paso 1.4.1.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.1.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{15}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 (\sqrt[3]{15})}$

Paso 1.4.1.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

Paso 1.4.1.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}}$

Paso 1.4.1.2.1.6

Multiplica $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.4.1.2.1.7.1

Multiplica $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{\sqrt[3]{15} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.7.2

Eleva $\sqrt[3]{15}$ a la potencia de $1$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1 + 2}}$

Paso 1.4.1.2.1.7.4

Suma $1$ y $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{3}}$

Paso 1.4.1.2.1.7.5

Reescribe ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ como $15$ .

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Paso 1.4.1.2.1.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{15}$ como $15^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{(15^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 1.4.1.2.1.7.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 1.4.1.2.1.7.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

Paso 1.4.1.2.1.7.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.4.1.2.1.7.5.4.1

Cancela el factor común.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

Paso 1.4.1.2.1.7.5.4.2

Reescribe la expresión.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{1}}$

Paso 1.4.1.2.1.7.5.5

Evalúa el exponente.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15}$

Paso 1.4.1.2.1.8

Cancela el factor común de $120$ y $15$ .

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Paso 1.4.1.2.1.8.1

Factoriza $15$ de $120 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15}$

Paso 1.4.1.2.1.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.1.8.2.1

Factoriza $15$ de $15$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 (1)}$

Paso 1.4.1.2.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 \cdot 1}$

Paso 1.4.1.2.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{8 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{1}$

Paso 1.4.1.2.1.8.2.4

Divide $8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ por $1$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$

Paso 1.4.1.2.1.9

Reescribe ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ como $\sqrt[3]{15^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{15^{2}}$

Paso 1.4.1.2.1.10

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{225}$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $4 \sqrt[3]{225}$ y $8 \sqrt[3]{225}$ .

$12 \sqrt[3]{225}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} + \frac{240}{0}$

Paso 1.4.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

Paso 2

Usa la prueba de la primera derivada para determinar qué puntos pueden ser máximos o mínimos.

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Paso 2.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 2 \sqrt[3]{15}) \cup (2 \sqrt[3]{15}, \infty)$

Paso 2.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 2 \sqrt[3]{15})$ en la primera derivada $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 2.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

Paso 2.2.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{4}$

Paso 2.2.2.1.3

Divide $240$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 4 - 1 \cdot 60$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $60$ .

$f' (- 2) = - 4 - 60$

Paso 2.2.2.2

Resta $60$ de $- 4$ .

$f' (- 2) = - 64$

Paso 2.2.2.3

La respuesta final es $- 64$ .

$- 64$

Paso 2.3

Sustituye cualquier número, como $7$ , del intervalo $(2 \sqrt[3]{15}, \infty)$ en la primera derivada $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 2.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $7$ en la expresión.

$f' (7) = 2 (7) - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$f' (7) = 14 - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f' (7) = 14 - \frac{240}{49}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $14$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{49}{49}$ .

$f' (7) = 14 \cdot \frac{49}{49} - \frac{240}{49}$

Paso 2.3.2.3

Combina $14$ y $\frac{49}{49}$ .

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49}{49} - \frac{240}{49}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49 - 240}{49}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $14$ por $49$ .

$f' (7) = \frac{686 - 240}{49}$

Paso 2.3.2.5.2

Resta $240$ de $686$ .

$f' (7) = \frac{446}{49}$

Paso 2.3.2.6

La respuesta final es $\frac{446}{49}$ .

$\frac{446}{49}$

Paso 2.4

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 2 \sqrt[3]{15}$ , $x = 2 \sqrt[3]{15}$ es un mínimo local.

$x = 2 \sqrt[3]{15}$ es un mínimo local

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Sin máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

Paso 4